1.2.1 Сравнение параметров масштаба двух совокупностей

1.2.1.1. Критерий Ансари—Бредли

Является масштабным аналогом критерия Вилкоксона. Сравниваются две выборки и объемами и соответственно. Пусть - ранги элементов одной из выборок (предположим, ) в общем упорядоченном по возрастанию ряду. Статистикой критерия Ансари—Бредли является [1]

(1.26)

Вычисление статистики критерия может быть выполнено и другим, более простым методом. Поставим элементам упорядоченной по возрастанию выборки объема в соответствие ранги по следующему правилу

Тогда статистика критерия равна

т. е. она определяется суммой специальным образом назначенных рангов одной выборки.

Легко видеть, что при четном ( ) последовательность таких рангов имеет вид

а при нечетном ( ) —

Гипотеза равенства параметров масштаба не отклоняется с достоверностью α, если [1]

, (1.27)

где - критические значения статистики Ансари-Бредли.

При можно использовать асимптотическую нормальность распределения величины [1]

(1.28)

где

(1.29)

(1.30)

Нулевая гипотеза равенства параметров масштаба в двух выборках принимается с достоверностью α, если [1]

(1.31)

Эффективность критерия по сравнению с F-критерием в случае нормального распределения равна

1.2.1.2. Критерий Муда

Рассмотрен в качестве альтернативы критерию, основанному на F-статистике Фишера, когда вместо наблюдений используются их ранги. Статистика критерия имеет вид [1]

(1.32)

где - ранги элементов выборки в общем упорядоченном ряду значений и ( ).

Нулевая гипотеза равенства параметров масштаба в обеих выборках принимается, если [1]

, (1.33)

где и - критические значения статистики Муда.

При справедлива нормальная аппроксимация [1]

(1.34)

где

(1.35)

(1.36)

Нулевая гипотеза принимается, если [1]

(1.37)

Эффективность критерия Муда по отношению к F-критерию в случае исходного нормального распределения равна 0,76.

Необходимо отметить, что критерий Муда (как и все ранее рассмотренные критерии) предполагает равенство средних (параметров положения).

1.2.1.3. Критерий Сижела-Тьюки

Сижел и Тьюки предложили преобразование критериев сдвига в критерии масштаба. Суть их способа сводится к преобразованию первичной упорядоченной объединенной выборки. Пусть — первичная объединенная выборка. Из нее получаем новую последовательность вида

(т. е. оставшийся ряд „переворачивается" каждый раз после приписывания рангов паре крайних значений).

Далее проверка гипотезы о разности параметров масштаба в двух выборках аналогична проверке гипотезы сдвига в новой последовательности с описанным правилом нумерации рангов.

Если использовать в качестве критерия проверки нулевой гипотезы сумму рангов элементов выборки меньшего объема в такой последовательности, то нулевая гипотеза принимается, если , где и - критические значения которые могут быть получены с помощью критических значений критерия Манна-Уитни. Для этого необходимо найти и из таблицы критических значений критерия Манна-Уитни для заданных α, и затем вычислить

Здесь - объем меньшей выборки.

При справедлива аппроксимация

Если , нулевая гипотеза равенства параметров масштаба принимается с достоверностью α [1].