6. Дерева. Властивості дерев.

1. Опис дерев і лісу

2. Символ дерева

3. Екстремальне дерево

1. Граф називається ациклічним, якщо в ньому немає циклів. Дерево - це зв'язаний ациклічний граф. Дерево на множині р вершин завжди містить q=p-l ребро, тобто мінімальна кількість ребер, необхідна для того, щоб граф був зв'язним.

При доповненні дерева ребром утворюється цикл, а при забиранні хоча б одного ребра дерево розпадається на компоненти, кожний з яких є деревом або ізольованою вершиною. Незв'язаний граф, компоненти якого є деревами, називаються лісом.

Розглянемо на прикладі (мал. 1)

мал. 1 а) - дерево;

мал. 1 б) - утворення циклу при добавленні ребра;

мал. 1 в) - ліс, який утворюється після забирання ребра е.

Серед різних дерев виділяються два частинні випадки:

послідовне дерево, що є простим ланцюгом, і зіркове дерево в якому одна з вершин (центр) суміжна зі всіма іншими вершинами.

Орієнтоване дерево наз. прадеревом з коренем V₀, якщо існує шлях між вершиною V₀ і будь-якою іншою вершиною (мал. 2).

Нехай множина V містить р вершин, які пронумеровані числами від 1 до р, V={l,2,...p}. Зв’язавши ці вершини р-1 ребрами так, щоб були відсутні цикли, отримаємо деяке дерево, що покриває дану множину р вершин. При р=2 таке дерево єдине і складається з однієї гілки. Зі збільшенням р кількість різних дерев t_p збільшується і виражається співвідношенням

t_p=p^p-2 _.

Степені вершин дерев можуть набувати значення від 1 до р-1. Вершини першої степені є кінцевими вершинами, а зв'язані з ними ребра - кінцевими ребрами.

2. Будь-якому дереву Т можна поставити у відповідність деякий символ - впорядковану послідовність р-2 номерів вершин а(Т)=(а₁,а₂, а_р-2), серед яких можуть бути ті, що повторюються, причому а₁, а₂,...а_р-2 є V. Ця послідовність для дерева утворюється наступним чином. Вводиться послідовність N_p=(l,2...p). Далі вибирається кінцева вершина з найменшим номером і записується номер а₁ зв'язаної з нею вершини, а сама кінцева вершина забирається з послідовності N_p=(l,2...p). Потім цей процес повторюється до тих пір, поки не отримаємо послідовність а (Т)=( а₁, а ₂,... а_р-2).

Побудова дерева за його символом виконується послідовною відбудовою кінцевих вершин і ребер. На першому кроці з послідовності N_p=(l,2...p) вибирається найменший номер a_mn, відсутній в а(Т)=( а₁, а ₂,... а_р-2) і будується ребро (a_min,a₁) Далі, забирається номер a mm з N_p і номер а₁ з а(Т) і процес продовжується до вичерпування символа а(Т). Остання в послідовності N_p пара вершин визначає останнє ребро дерева. Наприклад а (Т2)=(1;3;1;1;3) N₇=(1,2;3;4;5;6;7). На 1-му кроці маємо ребро (2;1). Забираємо з N₇ -2, а з а(Т₂) -1. На ІІ-му кроці будуємо ребро (4;3); (5;1); (6;1); (1;3); (3;7). Сукупність всіх отриманих ребер дає шукане дерево.

3. В ряді практичних задач потрібно зв'язати р пунктів найбільш економічним чином.

На мові теорії графів ця задача формулюється в загальному вигляді так: Кожному ребру (Vi,Vj) повного графа з р вершинами приписують вагу _ij , що виражає чисельно відстань, вартість або іншу величину, що характеризує будь-яку пару вершин. Потрібно побудувати екстремальне дерево, що зв'язує всі вершини так, щоб була мінімальна сумарна вага  _т гілок дерева.

Спосіб побудови екстремального дерева оснований на послідовному введені в нього ребер з пріоритетом по мінімуму їх ваги. Спочатку для дерева вибирають ребро з найменшою вагою. Потім на кожному наступному кроці розглядається мінімальне за вагою ребро і якщо воно не утворює циклу з попередніми гілками, то його вводять в дерево. Побудова закінчується після відбору для дерева р-1 ребра.