2. Основні елементи комбінаторики: розміщення перестановки, комбінації.

Комбінаторні задачі, ті в яких потрібно визначити скількома способами можна здійснити ту чи іншу вимогу або зробити той чи інший вибір. Такі задачі принято називати комбінаторними.

Розміщення.

Нехай дана множина п -елементів. Розміщення з п -елементів по т -елементів, називається впорядкована підмножина, що містить т -різних елементів даної множини. Всі підмножини відрізняються складом елементів, або порядком їх розміщення.

Число всіх можливих розміщень з п елементів по т елементів позначають: А^m_n і обраховують за формулою.

Доведення:

Так як в якості першого елемента може бути вибраний любий з даних п елементів, то перший елемент можна вибрати п можливими способами. Очевидно, що в якості другого елемента можна вибрати любий з залишившихся п-1 елементів, тому його можна вибрати п-1 різними способами. Так як кожний із способів вибору першого елемента можна об'єднати із кожним з способів вибору другого елемента, то існують п(п-1) різних способів вибору перших двох елементів. Розмірковуючи аналогічно, приходим до висновку, що існують п(п-1)( п -2) різних способів вибору перших трьох елементів і т. д. Накінець, існує

п(п-1){п-2)... .(п-т+1)

способів вибору т різних елементів, тобто відповідає рівності (1).

Помноживши і поділивши праву частину рівності (1) на добуток 1*2*3...( п -т\ отримаєм

Приклад.' в групі з ЗО учнів потрібно вибрати старосту, профорга і фізорга. Скількома способами це можна зробити?

Розв'язок: шукане число способів рівне числу розміщень з ЗО елементів по З елемента, тобто А³₃₀. Підставивши в формулу (1) п =30, т =3, дістанем А³₃₀=30*29*28=24360.

Перестановка.

Перестановкою з п-елементів називається розміщення з п по п елементів.

Так як кожна перестановка містить всі п елементів численості, то різні перестановки відрізняються один від одного тільки порядком розміщення елементів.

Число всіх можливих перестановок з п елементів позначають так: Р _n. з цього випливає

Приклад: скількома способами можна розставляти на одній поличці шість різниx книг?

Розв 'язок: Шукане число способів рівне числу перестановок з 6 елементів, тобто Р₆=6\=\*2*ЗЧ*5*6=720.

Сполучення.

Нехай дано множину з п-елементів. Сполучення з п-елементів по т (о<=т<=п) елементів називається підмножина, яка містить т різних елементів даної множини.

Отже, сполучення з п елементів по т елементів - це всі т - елементні підмножини п-елементної множини, причому різними підмножинами рахуються тільки ті, які мають неоднаковий склад елементів. Підмножини відрізняються одна від одної тільки порядком розположення елементів, не рахуються різними.

Число всіх можливих сполучень з п елементів по т елементів позначають

С ^m_n

і обраховується за формулою:

Число А^m_n розміщень з п елементів по т найдем наступним чином. Спочатку складем всі можливі підмножини, що містять по т різних елементів. їх число рівне С ^m_n потім в кожному з одержаних таким чином підмножин (сполучень) зробим всі перестановки, в результаті отримаєм всі розміщення з п елементів по т. Так як число перестановок з т елементів рівне т!, то число А^m _n розміщень з п елементів по т! раз більше, як число С ^m_n

сполучень з п елементів по т , тобто.

А^m_n = т! С ^m_n = P_m С ^m_n

Число Cj сполучень з п по т обчислюють за одною з формул (4) або (5).

Приклад: В бригаді з 25 чоловік потрібно виділити чотирьох для роботи на певній ділянці. Скількома способами можна це зробити?

Розв'язок: так як порядок вибраних чотирьох чоловік не має значення, то це можна зробити С ⁴₂₅ способами. За формулою (4) знаходим