Кафедра вычислительной техники

Лабораторная работа №4

«Численные методы решения дифференциальных уравнений»

Выполнил: студент гр. ВТ-01 аз ИВАНИЦА С В.

Проверил: КРАВЧЕНКО А.Г.

Донецк - 2003

Данная лабораторная работа посвящена численным методам решения дифференциаль- ных уравнений. Будем рассматривать методы решения одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с одним начальным условием:

y' = f(x,y)

У(х₀) = У₀

Методы, которые здесь рассматриваются, легко обобщаются для системы уравнений пер- вого порядка. А уравнения высших порядков можно свести к системе уравнений первого порядка.

, 2 Ъу

Исходное уравнение: у =—г ;!!

X X

Начальное условие: у(1) = 1.

Выполнение данной лабораторной работы заключается в численном решении дифферен- циального уравнения различными методами путем нахождения значения функции у в требуемом конечном значении аргумента х^.

Требуемое конечное значение аргумента вычисляется по формуле: хk= 5*х0 +3,5;

В нашем случае xk= 5*1 + 3,5 = 8,5.

Следовательно, нужно определить, какое значение имеет искомая функция у в точке х =

8,5.

Следует помнить, что дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неиз- вестными являются не переменные, т.е. числа, а функции одной или нескольких переменных.

В нашей лабораторной работе мы имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, при котором заданы начальные условия, поэтому прежде чем приступить к ре- шению этого уравнения численными методами, решим его символьными (математическими) ме- тодами в профессиональной математической среде MachCad Profesional, и примем полученное решение в качестве образцового для сравнения в полученными результатами при вычислении ре- зультата численными методами.

В среде MachCad Profesional имеется два типа задач, с помощью которых можно решить дифференциальное уравнение. Приведем их обе, чтобы можно было сравнить полученные резуль- таты с точки зрения погрешности вычисления.

Первый метод-задачи Коши:

Листинг и результат вычисления представлен ниже.

Given

Итак, мы получили следующий результат: при х = 8,5 у = 0,02605.

Второй метод - краевые задачи:

Они отличаются от первого метода тем, что для них заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала. Переменная у представлена в виде двухмерного массива, что дает возможность графического определения решения уравнения.

Результаты расчета и график функции у(х) (рис.1.) приведены ниже:

.1. _у<о> .10.

Рис.1. График искомой функции у(х).

Графические результаты следующие: при х = 8,5031 у = 0,025992.

Результат немного отличается от первого по той причине, что аргумент х задан не совсем точно (8,5031).

Примем за эталонный результат значение функции первого вычисления:

у(8,5) = 0,02605.