МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра вычислительной техники

Лабораторная работа № 3

«Численное интегрирование»

Выполнил: студент гр. ВТ-01 аз ИВАНИЦА С.В.

Проверил: КРАВЧЕНКО АТ.

Донецк - 2003

Данная лабораторная работа посвящена вычислению определенного интеграла различ- ными численными методами. Все они основаны на том, что интеграл представляется в виде преде- ла суммы площадей, и позволяет вычислить эту сумму с достаточной точностью.

-2 х 2

Рис.1. График подынтегральной функции/(х) на всей числовой прямой.

Перед тем, как начать решение интеграла численными методами, произведем вычисление значения по правилам ВМ. Для более точного и быстрого вычисления прибегнем к помощи про- фессионального математического пакета MachCad Professional. Произведем вычисление интеграла символьным методом. Это нам даст точное математическое (не численное!) вычисление значения с помощью символьного процессора MachCad. Конечно, символьное интегрирование возможно только для небольшого круга несложных подынтегральных функций, но в нашем случае мы по- лучили довольно точный результат.

'°'⁸ ( \

\0.66- cos(2.31 • х) - 0.04- ехр(-2.61- х) - 9.58- х⁴ + 9.4. х³ - 8.96- х - 5.5lj dx-> -21.9974707521255222^е

-1.1

Определенный интеграл I представляет собой площадь (рис.2.), ограниченную кривой f(x), осью х и прямыми х=а и х=Ь (в нашем случае а=-1.1, Ь=0.8). Будем вычислять интеграл (1) , разбивая интервал от а до b на множество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски, получающейся при гаком разбиении, и суммируя площади этих полосок.

Требуется вычислить следующий определенный интеграл:

Дх) -0.66*cos(2.31*x)~0.04*е™* -9.58*х⁴ +9.4*х³ -8.96*х² -5.51;

График функции f(x) представлен па рис.1.

Рис.2. Графическое изображение исходного интеграла.

1. Правило трапеций.

Разобьем интервал интегрирования на п равных частей, каждая длиной h=(b-a)/n. Рас- смотрим теперь один из этих интервалов. Площадь, лежащая под кривой y=f(x), между х, и х, ц равна:

f^xi+l

f(x) dx

v ^xi

Если h достаточно мало, то эту площадь без большой ошибки можно приравнять к площади трапеции:

1. = —(у. + у. ,)

' '^+,> (2)

Просуммировав площади по всем п интервалам, получим:

I =

п-1

=£

i = О

где хо = а> х„ = Ъ.

Теперь, подставляя (2) в (3), получаем:

h

For	n = 15	Integral =	-22.16432
For	n = 55	Integral =	-22.05757
For	n = 126	Integral =	-21.99988

В результате получили довольно приблизительное значение, которое хоть и сходится к по- лученному ранее, но при больших значениях п (600...800), что приводит соответственно к боль- шому количеству суммирующих циклов.

Этот метод оказался не очень эффективным.

Чтобы найти более точное значение интеграла, рассмотрим более усовершенствованные правила и методы численного интегрирования.

Чтобы найти более точное значение интеграла можно воспользоватея стравнительно про- стым усовершенствованным методом трапеций.

Выберем некоторую другую величину шага разбиения к = (Ь-а)/т, причем т<>п.

Если 4 - значение интеграла, вычисленное по павилу трапеций с шагом К а Д - значение интеграла , вычисленное по правилу трапеций с шагом к, то лучшее приближение , чем Д или h получается по формуле:

(4)

Вычисленное таким образом значение интеграла I является лучшим приближеием , чем //, или Д. Если же вторая производная у ”(х) действительно постоянна при а<=х<=Ь, то ошибка огра- ничения в данной формуле равна нулю. Этот метод впервые был предложен Ричардсоном (1927г.).

Листинг программы, производящей вычисление значения определенного интеграла по экс- траполяционному переходу к пределу, представлен ниже:

{ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ"

" Численное интегрирование"

Программа № 2 : EXTRAPOLYATSIONNY PEREXOD К PREDELU }

Program lab_3_l;

Uses Crt;

Const n = 15 ;

m = 2*n+50; a = -1.1; b = 0.8;

Type Ar = array[0..N+M] of real;

Var X : Ar;

step, Ih, Ik,

Integral,

8. k : real;

i,

iter : byte;

_{{ }}

Function Func (X:real) : real;

Begin

Func:= 0.66*cos (2.31*X)-0.04*exp(-2.61*X)-9.58*X*X*X*X + 9.4*X*X*X - 8.96*X*X-5.51;

End { Func };

_{{ }}

Procedure Made_Integr (iter : word);

{ процедура, считающая интеграл по правилу трапеции }

Begin

step:=(b-a)/iter;

X[0]:=a; X[iter]:=b;

For i:=l to iter-1 do X[i]:=X[i-l] + step;

Integral:= 0.0;

For i:=0 to iter-1 do

Intearal:= Integral + (step/2)*(Func(X[i]} + Func(X[i+1]));