Лабораторная работа №1

Численное решение уравнений итерационными методами

Выполнил:

\

ст. гр. КС-10а Бородин Богдан

Донецк 2012

Y^O.6768-0.144*х-0.47*х^Л2+0.1 *х^л3

Метод последовательных приближений

Y=0.6768+(-0.144+1 )*х-0.47*х^Л2+0.1 *х^л3=х

Рис.2. График функции х = / (х).

В данном методе для удобства вычислений переводят от исходного уравнения, заданного в виде (1), к уравнению

х=/(х). (2)

Данный переход можно осуществить множеством способов, например, прибавив к обеим частям (1) х.

Суть метода последовательных приближений заключается в том, что начальное приближение х₀ подставляется в правую часть формулы (2) и вычисляется значение х_х. Затем полученное значение Xi снова подставляется в правую часть формулы (2) и вычисляется значение х₂ и т.д. Рабочая формула метода последовательных приближений имеет вид

x_n=/(x_n-i). (3)

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность е, то есть

I Х_п^-Х_п.₁1 < £ . (4)

Основной проблемой при работе с итерационными методами является проблема сходимости. Достаточным условием сходимости метода последовательных приближений является выполнение условия 1/'(х„)1<1 (5) для всех значений х_п.

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ

УСОВЕРШЕНДСТВОВАНЫИ МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ

3. Метод Ньютона-Рафсона

Небольшая дальнейшая модификация усовершенствованного метода последовательных приближений приводит к одному из наиболее известных численных методов решения уравнений - методу Ньютона-Рафсона. Формула метода для / (х), подчиняющегося соотношению (2), имеет вид Хп+1 = ( / (х_п)-х_п* /' (х_п))/(1- /' (х_п)), (9) при этом сходимость метода обеспечивается, если

• х₀ выбрано достаточно близко к решению х =/ (х);

• производная /"(х) не становится слишком большой;

• производная /'(х) не слишком близка к 1.

Формула Ньютона-Рафсона для F(x), подчиняющегося соотношению (1), имеет вид

x_n+, = x_n-F(x_n) / F'(x_n), (10) при этом условия сходимости принимают следующий вил:

• х₀ выбрано достаточно близко к корню уравнения F(x)=0;

• производная F"(x) не становится слишком большой;

• производная F'(x) не слишком близка к 0.

МЕТОД НИЬЮТОНА-РАФСЛОСА

4. Метод Бирге-Виетта

Данный метод позволяет находить корни уравнения в случае, когда F(x) представляет собой многочпен степени m F(x) = ао + aix + а₂х² + ... + a_mx^m (11)

Применим метод Ньютона-Рафсона согласно формуле (10), при этом вычисление F(x) будем осуществлять по правилу Горнера с использованием рекуррентных формул:

Ьщ (12)

bj = aj+XnCj+ь

j = m-l, ... , 0 таким образом находим F(x) = b₀.

Р'(х)представляет собой многочлен степени т-1. Воспользовавшись для его вычисления теми же рекуррентными формулами, имеем c_m = b_m (13) cj = bj+x_nCj+i, j = m-1,..., 1 и соответственно F'(x) = Cj.

Подставляя найденные значения F(x) и F'(x) в формулу (10) для метода Ньютона-Рафсона, получаем x_n+i =х_п-Ьо/с_ь (14) где Ь₀ и С| вычислены по формулам (12) и (13).

Выполнение данной лабораторной работы заключается в нахождении с заданной точностью s одного из корней кубического уравнения F(x) = ао + aix + а₂х + а₃х = 0 перечисленными выше методами. Коэффициенты многочлена, точность вычисления и номер вычисляемого корня заданы в таблице. Решение осуществляется в два этапа. На первом этапе с помощью грубого анализа находятся приближенные значения корней. В основном этот анализ сводится к

МЕТОД БИРГЕ-ВИЕТТА

Выводы

В этой лабораторной работе для численного решения кубического уравнения было предложено четыре итерационных метода, имеющих разную скорость и характер сходимости, различную степень сложности вычислений для достижения заданной точности решения уравнения.

Для заданного кубического уравнения по варианту методы Ньютона-Рафсона и Бирге- Виетта показали высокую скорость сходимости

Метод прямых приближений не сходится для заданного корня уравнения. Усовершенствованный метод прямых приьлижений сходится за 4 итерации, то есть в данном случае почти равен методам Ньютона-Рафсона и Бирге - Виетта,однако,так бывает далеко не всегда

Однако методы Ньютона-Рафсона и Бирге-Виетта не могут быть применены, когда функция не имеет производной и, кроме того, имеют большую сложность арифметических вычислений, чем методы прямых приближений, которые сходятся за большее число итераций метода. Поэтому эти методы скорее дополняют друг друга. Выбор метода определяется видом функции, численное решение которой необходимо найти.

Важным преимуществом всех итерационных методов является то, что ошибка приближения не накапливается, а происходит на последнем этапе расчетов.

ttinclude <stdio.h>

#include <conio.h>

ttinclude <math.h>

void intro();

void parti();

void part2 ();

void part3 () ;

void part4 ();

const float Eps=0.0001;

float a0=0.67 68,al=-0.144,a2=-0.47,a3=0.1; float k=-10,x[21],xO,*y;

//—

void main ()

{char ch;

printf("Лабораторная работа №l\n"); printf("Выполнил:\n"); printf("Бородин Богдан\п"); printf("Нажмите Enter...\n"); do {

do

{

}

while (getch() intro(); clrscr();

printf("\n

printf(" {2}

приближений\п");

{1}. Метод последовательных приближений\п");

Усовершенствованый метод последовательных

Метод Ньютона-Рафсона\п") Метод Бирге-Виетта\п"); Выход.\п");

parti();break; part2();break; part3();break;

: part4();break; exit(0);

printf(" {3}. I

printf (" {4 } . !

printf(" {5}. :

ch=getch{); switch(ch)

{

case '1' : p^

case '2' : ] case '3¹ : ] case ' 4 ' : case '5' : <

}

}

while (1) ;

}

II—

void parti()

{float xa,fx; int i,j=0; clrscr();

printf(" Метод последовательных приближений\n"]

printf("ХпНачальное приближение:\nx0=%6.4f\n",xO); xa=xO;

for (i=l;i<4;i++)

{

fx=(a1+1)+2*(a2*xa)+3*(a3*pow(xa,2)); printf("f'(x[%d])=%6.4f\n",j=i-l,fx); xa=aO+(al+1)*xa+a2*pow(xa,2)+a3*pow(xa,3);