4.3. Проверим полученное двухфакторное уравнение регрессии первого порядка на адекватность по критерию Фишера (результаты расчета внесем в таблицу 4):

Рассчитаем параметр в каждом опыте по двухфакторному уравнению регрессии первого порядка. Например: .

Образуем столбец , и рассчитаем его значения. Например:

.

Рассчитаем остаточную сумму квадратов

;

Рассчитаем и её число степеней свободы (см. уравнения (24) – (25)):

; .

Проверим полученное двухфакторное уравнение регрессии на адекватность по критерию Фишера:

‑ экспериментальное значение критерия Фишера (см. уравнение (26)):

, так как ;

‑ табличное значение критерия Фишера при числах степеней свободы  , и доверительной вероятности р = 0.95 выбираем из таблицы Приложения 4: .

Вывод: полученное двухфакторное уравнение регрессии первого порядка  неадекватно, так как (см. уравнение (28)).

5. Так как полученное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, следует перейти к построению двухфакторного ортогонализированного уравнения второго порядка.

План решения типовой задачи (уравнение регрессии второго порядка)

1. Создать матрицу планирования для построения ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка на базе ОЦКП и выполнить предварительную обработку экспериментальных данных.

2. Создать матрицу моделирования для построения ортогонализированного двухфакторного уравнение регрессии второго порядка, рассчитать коэффициенты и произвести статистическую оценку качества полученного уравнения регрессии (значимость коэффициентов регрессии, адекватность уравнения регрессии).

3. Найти оптимальные значения факторов, при которых параметр Y достигает максимальной величины, а также её абсолютную и относительную погрешность.

4. Принять решение о дальнейшем пути исследования изучаемого объекта.

Дополнительные экспериментальные данные по урожайности пшеницы ( ) на базе ОЦКП с числом опытов и числом дублей для звёздных опытов (№№ 6 – 9) представлены в таблице 5.

Таблица 5. ‑ Экспериментальные данные для звёздных точек ОЦКП

N2
6	–	0	56	58	57	57
7	+	0	49	50	48	51
8	0	‑	40	45	42	45
9	0	+	56	57	55	58

Решение задачи по плану

1. Создадим матрицу планирования (таблица 6) (см. раздел Б, п. 9), дополнив матрицу планирования (таблица 3) звездными точками . Для (см. уравнение (30)). Количество опытов ОЦКП равно , количество дублей . Внесём в матрицу планирования (таблица 6) экспериментальные данные из таблицы 2 и дополнительные экспериментальные данные для звёздных опытов из таблицы 5.

Таблица 6. ‑ Матрица планирования на базе ОЦКП для k = 2 и

результаты предварительной обработки

N
1	‑	–	1	1	46	44	45	45	45.00	0.6667
2	+	–	3	1	35	38	36	35	36.00	2.000
3	‑	+	1	3	55	58	57	58	57.00	2.000
4	+	+	3	3	48	51	49	50	49.50	1.667
5	0	0	2	2	52	55	54	55	54.00	2.000
6	‑	0	1	2	56	58	57	57	57.00	0.6667
7	+	0	3	2	49	50	48	51	49.50	1.6667
8	0	–	2	1	40	45	42	45	43.00	6.000
9	0	+	2	3	56	57	55	58	56.50	1.667

1.1. Выполним предварительную обработку экспериментальных данных, результаты расчета внесем в таблицу 6.

Выборочное среднее в звездных точках (см. уравнение (6)):

, .

Например, выборочное среднее в опыте № 8:

.

Выборочная дисперсия в звездных точках (см. уравнение (7)):

, .

Например, выборочное среднее в опыте № 8:

Проверка выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена:

‑ экспериментальное значение критерия Кохрена (см. уравнение (8)):

,

‑ критическое значение критерия Кохрена при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 5: . Вывод: 9 выборочных дисперсий однородны, так как . (см. уравнение (9)).

1.2. Так как все выборочные дисперсии однородны, рассчитаем дисперсию воспроизводимости и её число степеней свободы (см. уравнение (11) – (12)):

, .

2. Создадим матрицу моделирования на базе матрицы ОЦКП для построения ортогонализированного двухфакторного уравнение регрессии второго порядка (таблица 7). Создадим столбцы N₂, , где ортогонализирующий коэффициент (см. уравнение (32)) и внесем в матрицу моделирования выборочные средние каждого опыта из таблицы 6.

Таблица 7. ‑ Матрица моделирования для построения ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка на базе ОЦКП.

Nk

1

+

‑

‑

+

1/3

1/3

45.00

+45.00

‑ 45.00

‑ 45.00

+45.00

1/345.00

1/345.00

44.59

0.1681

2

+

+

+

–

1/3

1/3

36.00

+36.00

+36.00

‑ 36.00

‑ 36.00

1/336.00

1/336.00

36.59

0.3481

3

+

‑

‑

–

1/3

1/3

57.00

+57.00

‑ 57.00

+57.00

‑ 57.00

1/357.00

1/357.00

57.59

0.3481

4

+

+

+

+

1/3

1/3

49.50

+49.50

+49.50

+49.50

+49.50

1/349.50

1/349.50

49.59

0.0081

5

+

0

0

0

‑ 2/3

‑ 2/3

54.00

+54.00

054.00

054.00

054.00

‑ 2/354.00

‑ 2/354.00

54.99

0.9801

6

+

‑

0

0

1/3

‑ 2/3

57.00

+57.00

‑ 57.00

057.00

057.00

1/357.00

‑ 2/357.00

56.79

0.0441

7

+

+

0

0

1/3

‑ 2/3

49.50

+49.50

+49.50

049.50

049.50

1/349.50

‑ 2/349.50

48.79

0.5041

8

+

0

‑

0

‑ 2/3

1/3

43.00

+43.00

043.00

‑ 43.00

043.00

‑ 2/343.00

1/343.00

42.79

0.0441

9

+

0

+

0

‑ 2/3

1/3

57.50

+57.50

057.50

+57.50

057.50

‑ 2/357.50

1/357.50

55.79

0.5041

9

6

6

4

2

2

447.5

‑ 24.00

39.00

1.500

‑ 4.333

‑ 11.33

 = 2.949

49.72

‑ 4.000

6.500

0.3750

‑ 2.167

‑ 5.665

Уравнение адекватно

0.49

0.6

0.6

0.7

1.0

1.0

2.1. Рассчитаем коэффициенты ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка (значения тоже изменятся, так как число опытов увеличилось с 5-ти до 9-ти).

Создадим столбцы и рассчитаем суммы , (результаты расчета внести в таблицу 6).

;

;

;

;

;

.

Рассчитаем суммы :

;

;

;

.

2.2. Рассчитаем коэффициенты двухфакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка (см. уравнения (33) – (36)):

;

; ;

;

; .

2.3. Проверим полученные коэффициенты ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка на значимость.

Рассчитаем дисперсии значимости коэффициентов ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка (см. уравнения (37) – (43)):

;

;

;

.

Рассчитаем доверительные интервалы коэффициентов ортогонализированного двухфакторного уравнения регрессии второго порядка по критерию Стьюдента (см. уравнения (44) – (50)):

;

;

;

.

где  – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р = 0.95 выбираем из таблицы Приложения 2:

Корректно запишем значения коэффициентов :

,

, ,

,

, .

Регрессионные коэффициента значимы, так как (см. уравнения (51) – (54)):

;

, .

,

Регрессионный коэффициент незначим, так как .

Вывод: ортогонализированное двухфакторное уравнение регрессии второго порядка, в котором 5 коэффициентов значимы, а коэффициент незначим, имеет следующий вид:

.