Типовая задача (уравнение регрессии первого порядка)

Цель типовой задачи: Освоить методы моделирования и оптимизации многофакторных объектов, подчиняющихся стохастическим закономерностям.

Формулировка типовой задачи. На международной ярмарке у канадской фирмы был закуплен элитный сорт твердой пшеницы. Так как климат и земля в Канаде и Беларуси различаются, то для адаптации технологии возделывания канадской пшеницы к белорусским условиям решили исследовать урожайность канадской пшеницы на полях Беларуси. Урожайность пшеницы зависит от большого числа факторов. Для иллюстрации метода моделирования многофакторных стохастических систем, рассмотрим упрощенный вариант, ограничившись только двумя факторами ( ).

Математически задача формулируется следующим образом: построить адекватное уравнение регрессии, отражающее зависимость урожайности пшеницы (параметр Y, ц/га) от количества посевного материала (фактор х₁, ц/га) и количества неорганического удобрения (фактор х₂, ц/га). Определить оптимальные значения факторов х_1 опт и х_2 опт, при которых урожайность пшеницы будет максимальной Y_max, а также её абсолютную и относительную погрешность.

В данной задаче зависимость урожайности пшеницы (параметр Y) решено изучить для следующих интервалов варьирования факторов  ц/га и  ц/га.

Экспериментальные данные урожайности пшеницы ( ) на базе ЦПФП с числом опытов и числом дублей представлены в таблице 1.

Таблица 1. ‑ Экспериментальные данные для ЦПФП

N2
1	–	–	46	44	45	45
2	+	–	35	38	36	35
3	–	+	55	58	57	58
4	+	+	48	51	49	50
5	0	0	52	55	54	55

План решения типовой задачи.

1. Внимательно прочитать условия задачи.

2. Написать формулы перевода натуральных значений факторов х₁, х₂ в нормированные Х₁, Х₂ и обратно.

3. Создать матрицу планирования для построения двухфакторного уравнения регрессии первого порядка и выполнить предварительную обработку экспериментальных данных.

4. На базе матрицы планирования создать матрицу моделирования для построения двухфакторного уравнение регрессии первого порядка , рассчитать коэффициенты и произвести статистическую оценку качества полученного двухфакторного уравнения регрессии первого порядка.

5. Принять решение о дальнейшем пути исследования изучаемого объекта.

Решение задачи по плану

Все промежуточные расчёты проводить минимум до 4-х значащих цифр.

1. Пункт плана 1 выполнить самостоятельно.

2. Уровни и интервалы варьирования факторов, а также формулы перевода натуральных х₁, х₂ в нормированные Х₁, Х₂ и обратно, приведены в таблице 2 (см. уравнения (2) – (5))

Таблица 2. – Уровни и интервалы варьирования факторов

Факторы	1-й фактор (семена)		2-й фактор (удобрение)
	x1, ц/га	X1	x2, ц/га	X2
Нижний уровень	x1 min = 2	‑1	x2 min = 1	‑1
Верхний уровень	x1 max = 5	+1	x2 max = 2	+1
Основной уровень	x10 = 3.5	0	x20 = 1.5	0
Интервал варьирования	x1 = 1.5		x2 = 0. 5
Формулы перевода натуральных (х1, х2) в нормированные (Х1 Х2)r и обратно	; ; ; .

3. В качестве матрицы планирования (таблица 3) для построения двухфакторного уравнения регрессии первого порядка возьмем ЦПФП с числом опытов ( ) и числом дублей (см. радел А, п. 3).

3.1. Методика эксперимента. Так как общее количество опытов и число дублей , организуем в теплице 20 делянок площадью по 1 м². Количество посевного материала и неорганического удобрения вносится в каждую делянку согласно ЦПФП. Все остальные факторы (количество воды, света, тепла, сроки посева и сбора) поддерживаются на фиксированных, одинаковых для всех делянок уровнях. Полученные результаты эксперимента из таблицы 1 перенесём в таблицу 3.

Таблица 3. – Матрица планирования на базе ЦПФП для ,

и результаты предварительной обработки экспериментальных данных.

N2
1	–	–	2	1	46	44	45	45	45.00	0.6667
2	+	–	5	1	35	38	36	35	36.00	2.000
3	–	+	2	2	55	58	57	58	57.00	2.000
4	+	+	5	2	48	51	49	50	49.50	1.667
5	0	0	3.5	1.5	52	55	54	55	54.00	2.000