30. Повний диференціал функцій двох змінних. Застосування повного диференціалу до наближених обчислень.

Повним диференціалом двох змінних наз.. вираз:

dz=z_x’dx+z_y’dy

Головна лінійна частина приросту ф-цій двох змінних: dz=∆z

Використовують для наближених обчислень на основі формули:

z(x₀+∆x;y₀+∆y)=z(x₀;y₀)+z_x(x₀)∆x+z_y’(y₀)∆y

31. Похідна за напрямом, градієнт.

Нехай ф-ція z=f(x;y) визначена в деякому полі точку М(х;у). Частинні похідні f_x’ (x;y) і f_y’(x;y) виражають швидкість зростання ф-ції в додатному напряму осей Ох і Оу відповідно. Але для ф-ції t=f(x;y) можна поставити питання про опуклість її зростання в точці в дальньому напрямі.

Приріст ф-ції ∆lz=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y), де ∆х і ∆у пов’язані співвідношенням , наз.. простором ф-ції z y деякому напрямі вектора l тому:

Похідною z’ за напрямком вектора і ф-ції двох змінних z=f(x;y), у точці М(х;у) наз.. границею відношення приросту ф-ції в цьому напрямі до ∆ при ∆ , якщо вона існує.

Градієнтом ф-ції z=f(x;y) у точці М₀ (х₀;у₀) наз.. вектор, напрямки якого дорівнюють численням похідних ф-ції в цій точці.

Градієнт – напрям найбільшої швидкості зміни ф-ції.

32. Поняття екстремуму функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови існування екстремумів функції двох змінних.

Точка М₀ (х₀;у₀) наз.. точкою екстремуму ф-ції двох змінних, якщо у цій точці ф-ція набуває найбільшого/найменшого значення у своєму околі.

Розрізняють точки максимум і мінімуму. Необхідна умова існування екстремуму в точці М₀ :

(рівність частинних похідних нулю).

Достатня умова: вираз АС-В²>0, де А=z''_xx(x₀;y₀), B=z’’_xy(x₀;y₀), C=z’’_yy(x₀;y₀). – значення частинних похідних 2го порядку.

AC-B²<0 – екстремум відсутній. АС²-В²=0 – дослідження не дало відповіді.

При A<0 у критичній точці максимум. А>0 – мінімум.

План дослідження:

1. Знайти частині похідні

2. Знайти критичні точки.

3. Знайти частинні похідні 2го порядку та значення 2ї похідної ф-ції у критичних точках.

4. Дослідити вираз АС-В² та зробити висновки

5. Знайти значення ф-ції у точках екстремуму.

33. Первісна функція. Невизначений інтеграл та його властивості. Таблиця невизначених інтегралів.

Функція F(x) наз.. первісною для ф-ції f(x), якщо F’(x)=f(x).

Теорема: Якщо ф-ція F(x) первіна для f(x), то первісними будуть і всі ф-ції виду F(x)+С, де С – стала.

Невизначеним інтегралом наз.. множина всіх первісних ф-цій:

Знаходження інтегралу наз.. інтегрування (в-дь перевіряють диференціюванням).

Основні властивості невизначених інтегралів:

1. 

2. Сталий множник виноситься.

3. 

4. 

34. Метод інтегрування заміною змінної; інтегрування частинами у невизначеному інтегралі.

Основні методи інтегрування:

1. Безпосереднє – застосування таблиць і властивостей.

2. Замінна змінної – метод підстановки

3. Інтегрування частинами.

Найпоширенішим є метод заміни змінної – метод підстановки.

Алгоритм методу:

1. Ввести нову змінну, якою замінити частину підінтегральної ф-ції(t=ᵠ(x))

2. Знайти диференціал нової змінної (dy=f’(x)dx; dt==ᵠ’(x)dx)

3. Виразити старий диференціал dx через новий dt.

4. Підставити t і значення dx в умову, спростити та знайти табличний інтеграл.

5. Повернутися до початкової змінної х.

Інтегрування частинами вик.. коли підінтегральна ф-ція – добуток 2х ф-цій різних класів.

Алгоритм методу:

1. Розбити підінтегральний вираз на частини: 1. Ф-цію U 2. Диференціал dv

2. Знайти диференціал du (du=u’dx) i v ( )

3. Застосувати формулу: