- •Предмет вищої математики. Зв'язок математики з економікою.
- •Матриці, їх види. Дії над матрицями.
- •Визначники та їх властивості. Обчислення визначників.
- •Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці.
- •Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар): основні визначення та поняття. Матричний запис слар. Теорема Кронекера-Капеллі
- •Метод Крамера розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Матричний метод розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
- •Метод Гаусса та Гаусса-Жордана розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
- •Предмет і методи аналітичної геометрії. Прямокутна декартова система координат. Знаходження відстані між двома точками. Ділення відрізка у заданому відношенні.
- •Вектори, дії над векторами. Скалярний і векторний добутки векторів; їх обчислення та застосування.
- •Рівняння лінії на площині. Задания прямої на площині (загальне, канонічне, параметричне рівняння; рівняння за двома точками та з кутовим коефіцієнтом).
- •Умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині. Кут між прямими. Відстань від точки до прямої.
- •Рівняння площини та його окремі випадки. Кут між площинами. Відстань від точки до площини.
- •Рівняння прямої у просторі: загальне, канонічне, параметричне, за двома точками.
- •Кут між двома прямими; умови паралельності та перпендикулярності прямих у просторі. Взаємне розташування прямої і площини просторі.
- •Криві лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола (означення, канонічні рівняння, графік, основні параметри).
- •Означення функціональної залежності. Функції в економіці. Способи задання функцій.
- •Дослідження основних властивостей функцій: області визначення, парності, непарності. Періодичності за аналітичним заданиям функції.
- •Основні елементарні функції, що зустрічаються в економічних дослідженнях: лінійна, степенева, показникова, логарифмічна (аналітичний вираз, основні властивості, графік).
- •Поняття числової послідовності. Границя послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі величини, зв'язок між ними.
- •Означення границі функції. Основні теореми про границі. Визначні границі. Методи знаходження границь функцій.
- •Поняття неперервності функції у точці та на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву функцій.
- •Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної функції; її геометричний, фізичний та економічний зміст. Основні правила диференціювання функцій, заданих аналітично.
- •Похідні основних елементарних функцій. Похідні складних функцій. Похідні функцій, заданих неявно та параметрично. Похідні вищих порядків.
- •Означення диференціалу функції, його зміст. Правила знаходження диференціалу. Застосування диференціалу до наближених обчислень.
- •Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя. Основні теореми диференціального числення: Ролля, Ферма, Лагранжа, Коші.
- •Зростання, спадання та екстремуми функцій, необхідні та достатні умови. Найбільше та найменше значення функції на відрізку.
- •Загальна схема дослідження функцій. Побудова графіків функцій.
- •Означення функції багатьох змінних. Область визначення. Частинний приріст функції, частинні похідні. Частинні похідні вищих порядків.
- •Повний диференціал функцій двох змінних. Застосування повного диференціалу до наближених обчислень.
- •Похідна за напрямом, градієнт.
- •Поняття екстремуму функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови існування екстремумів функції двох змінних.
- •Первісна функція. Невизначений інтеграл та його властивості. Таблиця невизначених інтегралів.
- •Метод інтегрування заміною змінної; інтегрування частинами у невизначеному інтегралі.
- •Інтегрування дробово-раціональних, тригонометричних функцій та ірраціональних функцій.
- •Означення визначеного інтеграла, його основні властивості та геометричний зміст. Формула Ньютона-Лейбніца. Заміна змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
- •Застосування інтегрального числення до обчислення площ плоских фігур. Знаходження довжини дуги плоскої кривої, об'єму тіла обертання.
- •Основні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь. Задача Коші.
- •Диференціальні рівняння першого порядку: з відокремленими змінними., лінійні та однорідні.
Екзаменаційні питання з вищої математики
Предмет вищої математики. Зв'язок математики з економікою.
Вища м-ка – навч.. предмет, що охоплює розділи лінійної та векторної алгебр.. аналітичної геометрії, диференціального численя, теорії диференційних р-нь та рядів.
Завдання курсу:
Розвиток логічного мислення та памяті;
Вивчення математичного апарату, необхідного для вивчення інших предметів економічного напрямку.
Матриці, їх види. Дії над матрицями.
Лінійна алгебра – розділ м-ки, основним об’єктом вивчення якого є СЛАР.
Матриця – набір елементів записаних у формі прямокутної таблиці.
Матриця розмірності mxn.
Матриці х-зують розмірністю: m – число рядків, n - к-сть стовпців.
Довільний елемент позначають Аij , і – номер рядка, j - номер стовпця.
Види матриць – квадратна (m=n), матриця рядок (m=1), матриця стовпець(n=1).
В квадратних матрицях виділяють:
Діагональні – на головній діагоналі довільні числа, інші елементи – нулі.
Одинична – на головній діагоналі одиниці, інші – нулі.
Трикутна – під/над головною діагоналлю – нулі.
Над матрицями виконують дії:
Додавання – матриці повинні мати однакову розмірність, додають відповідні елементи.
Віднімання.
Множення на число – множать кожен елемент матриці.
Множення – число стовпців хоча б однієї матриці=числу рядків другої, елементи рядків першої матриці множать на відповідні елементи стовпців другої,отримані добутки додають.
Транспонування – Т, рядки міняють місцями із стовпцями.
Визначники та їх властивості. Обчислення визначників.
Визначником (або детермінантом) наз.. число, що х-зує квадратну матрицю. Позначають detA. Визначник х-зують порядком.
Визначник другого порядку:
Визначники третього порядку обчислюють за правилами:
Трикутника
Правило Саррюса
Теорема Лапласа: Визначник=сумі добутку елементів довільного рядка/стовпця на їх алгебраїчне доповнення.
Мінором Mij визначника n-го порядку наз.. визначник n-1 порядку утв.. з початкового викреслюванням i-того рядка і j-того стовпця.
Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij наз.. вираз Aij = (-1)i+j * Mij
В-сті визначників:
При трансформування визначника його значення не змінюється. Усі в-сті для рядків є в-стями для стовпців.
Якщо всі елементи будь-якого рядка=0, то визначник =0.
Якщо змінити місцями два рядки, то визначник змінює знак.
Якщо визначник має два одинкаових рядки, то він =0.
Якщо елементи будь-якого рядка пропорційні елементам другого рядка, то визначник = 0.
Якщо в будь-якому рядку додати елементи другого рядка помножені на число, то визначник не зміниться.
Якщо помножити якийсь рядок на константу а, то визначник також множиться на а.
Визначник трикутної матриці = добутку елементів на діагоналі.
Обернена матриця. Знаходження оберненої матриці.
Матриця А-1 наз.. оберненою до матриці А, якщо: А-1 *А=А* А-1 =Е.
Е – одинична матриця(по головній діагоналі одиниці, решта - нулі).
Умова існування А-1 : detA≠0
Обернена матриця:
Алгоритм знаходження А-1 :
Знайти detA, зробити висновок.
Знайти алгебраїсні доповнення елементів матриці А: Аij
Записати матрицю (Аij)
Використовуючи формулу записати
Зробити перевірку ( )