5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар): основні визначення та поняття. Матричний запис слар. Теорема Кронекера-Капеллі

СЛАР наз.. систему виду:

a_ij – коефіцієнти; x_j – невідомі; b_i – вільні члени

Система, що має розвязок наз.. сумісною (якщо розвязок відсутній - несумісною). Розвязок СЛАР - порядковий набір чисел. Якщо система має 1 розвязок, її наз.. визначеною, якщо розв’язків безліч – невизначеною.

6. Метод Крамера розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Теорема Крамера: Якщо визначник системи ∆ відмінний від нуля, то система сумісна, має єдиний розвязок, корені знаходять за формулою:

де - визначники складені з коефіцієнтів та вільних членів.

Алгоритм методу:

1. Знайти визначник системи ∆. Зробити висновок про сумісність.

2. Знайти допоміжні визначники ∆хі

3. Вик.. ф-ли Крамера.

4. Зробити перевірку, записати відповідь.

7. Матричний метод розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

У матричному методі СЛАР розглядають як матричне рівняння: А*Х=В, де А – матриця коефіцієнтів, Х – матриця невідомих, В – матриця вільних членів.

Розв’язок: Х = А^-1 * В

Алгоритм методу:

1. Розглянути систему, як матричне р-ння А*Х=В.

2. Знайти обернену матрицю А^-1

3. Знайти розвязок за ф-ло. Х=А^-1*В

4. Зробити перевірку, записати в-дь.

8. Метод Гаусса та Гаусса-Жордана розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Метод Гауса – це метод послідовного виключення невідомих.

Алгоритм методу:

1. Записати розширену матрицю системи та звести її до трикутного виду шляхом елементарних перетворень рядків (прямий хід розв’язку).

2. Відшукати невідоме(зворотній хід).

3. Зробити перевірку, записати в-дь.

Метод Жордана-Гауса – це модифікований метод Гауса. Особливість – відсутність зворотного ходу.

Алгоритм методу:

1. Записати умову у табличній формі.

2. На кожному кроці вибираємо ключовий елемент, що разом в іншому рядку (та стовпці) серед коефіцієнтів (бажано одиницю).

3. Шляхом елементарних перетворень утв.. нулі у стовпці з кючовим елементом.

4. З останньої таблиці записуємо в-дь.

5. Зробити перевірку, записати в-дь

9. Предмет і методи аналітичної геометрії. Прямокутна декартова система координат. Знаходження відстані між двома точками. Ділення відрізка у заданому відношенні.

Аналітична геометрія – розділ геометрії, що вивчає геом… об’єкти засобами алгебри.

Основні задачі:

1. Записати р-ння геом.. об’єкту – пряма, площина

2. За р-нням побудувати об’єкт і дослідити його

Основні методи: координатний, векторний.

На практиці вик.. прямокутну декартову систему координат.

Відстань між двома точками знаходиться за ф-лою:

Якщо відрізок ab поділено точкою С у відношенні АС:СВ=ƛ, то координати точки поділу знаходять за ф-лами:

10. Вектори, дії над векторами. Скалярний і векторний добутки векторів; їх обчислення та застосування.

Вектор – напрямлений відрізок. Основні х-стики: координати ; ; модуль (довжина):

Над векторами виконують операції: додавання, іднімання, множення на число, скалярний добуток, векторний добуток.

Скалярним добутком векторів а і в наз.. число, що обчислюється за ф-лою:

У координатній формі:

Ск.. добуток вик..: для встановлення перпендикулярності векторі, для визначення кутів між векторами(сторонами).

Векторним добутком ( ) наз.. вектор , такий що ┴ , ┴ ;

Геометричний зміст: модуль векторного добутку = площі паралелограму побудованого на цих векторах.