21. Означення границі функції. Основні теореми про границі. Визначні границі. Методи знаходження границь функцій.

Число A називається границею функції у=f(x) у точці a, якщо для будь-якої послідовності значень аргументу, збіжної до числа а. Визначні границі: - перша визначна границя.

- друга визначна границя. Е = 2,72 – основа натурального логарифма.

Основні теореми про границі:

1. Границя сталої – рівна сталій:

2. Сталий множник можна виносии з під знаку границі:

3. Границя від суми(різниці добутку частки) двох ф-цій дорівнює сумі(різниці добутку частки) границь:

* = +,-,*,/

22. Поняття неперервності функції у точці та на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву функцій.

Ф-ція у=f(x), визначену в деякому колі точки х₀ , наз.. неперервною в точці х₀ ,якщо існує границя ф-ції і її значення в цій точці.

Оскільки

Отже, для неперервної ф-ції можна міняти місцями знаки ф-ції та границі.

Величину ∆х=х-х₀ називають приростом аргументу, а величину ∆у=f(x₀+∆x)-f(x₀) – приростом ф-ції в точці x₀ .

Ф-цію у=f(x) наз.. неперервною в точці x₀, якщо її прирісту цій точці є нескінченно малою ф-цією при ∆х→0, тобто

Ф-цією у=f(x) наз.. неперервною на проміжку (а,в), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

23. Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної функції; її геометричний, фізичний та економічний зміст. Основні правила диференціювання функ­цій, заданих аналітично.

До поняття похідних приводять задачі про: миттєву швидкість, про дотичну до кривої.

Похідною наз.. границю відношення приросту ф-ції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля.

Фізичний зміст похідної: миттєва швидкість.

Геометричний зміст похідної – кутовий коефіцієнт дотичної до графіка р-ння.

Економічний зміст похідної – граничні витрати(дохід, прибуток), еластичність.

Знаходження похідної наз.. диференціюванням.

Правила диференціювання:

1. Похідна сталої=0

2. Сталий множник можна винести за знак похідної.

3. Похідна суми/різниці = сумі/різниці похідних.

4. Похідна добутку: (UV)’ = U’*V + UV’

5. Похідна частки:

6. Похідна складеної ф-ції рівна добутку похідної зовнішньої ф-ції на похідні внутр… ф-цій.

24. Похідні основних елементарних функцій. Похідні складних функцій. Похідні функцій, заданих неявно та параметрично. Похідні вищих порядків.

Ф-ція задана неявно – це ф-ція виду: F(x;y)=0. Щоб знайти похідну неявно заданої ф-ції необхідно: 1. Продиференціювати умову, вважаючи у ф-цією по х. 2. Розвязати р-ння відносно у'

Параметричним наз.. задання ф-ції у вигляді:

Похідна ф-ції заданої параметрично:

У деяких задачах виникає необхідність обчислити похідну від функції, яка є похідною іншої функції. Такі похідні називають похідними вищих порядків.