Соотношение неопределенностей Гейзенберга

1. Положение пылинки массой можно установить с неопределенностью Учитывая, что постоянная Планка , неопределенность скорости    (в м/с) будет не менее …1,05*10^-18

Решение:

Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса следует, что .  Здесь  – неопределенность координаты,  – неопределенность x-компоненты импульса,  – неопределенность x-компоненты скорости,  – масса частицы;  – постоянная Планка, деленная на

Таким образом, м/с.

2. Неопределенность в определении местоположения частицы, движущейся вдоль оси x, равна длине волны де Бройля для этой частицы. Относительная неопределенность ее скорости не меньше __16___ %.

Решение: Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса следует, что .  Здесь  – неопределенность координаты,  – неопределенность x-компоненты импульса,  – неопределенность x-компоненты скорости,  – масса частицы;  – постоянная Планка, деленная на . По условию , где  – длина волны де Бройля, определяемая соотношением . Здесь  – постоянная Планка. Подставляя это выражение в соотношение неопределенностей, получаем:

3. Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии, равном . Учитывая, что постоянная Планка , ширина метастабильного уровня будет не менее …0,66 пэВ

Решение: Соотношение неопределенностей для энергии и времени имеет вид , где  неопределенность в задании энергии (ширина энергетического уровня),  время жизни частицы в данном состоянии. Тогда

4. Отношение неопределенностей проекций скоростей нейтрона и α-частицы на некоторое направление при условии, что соответствующие координаты частиц определены с одинаковой точностью, равно …4

Решение: Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса следует, что   Здесь  – неопределенность координаты,  – неопределенность x-компоненты импульса,  – неопределенность x-компоненты скорости,  – масса частицы;  – постоянная Планка, деленная на . Неопределенность x-компоненты скорости можно найти из соотношения  Поскольку соответствующие координаты частиц определены с одинаковой точностью, то есть  с учетом того, что  искомое отношение равно:

5. Ширина следа электрона на фотографии, полученной с использованием камеры Вильсона, составляет  Учитывая, что постоянная Планка , а масса электрона  неопределенность в определении скорости электрона будет не менее 0,12 м/с

Решение: Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса следует, что , где  – неопределенность координаты,  – неопределенность x-компоненты импульса,  – неопределенность x-компоненты скорости,  – масса частицы;  – постоянная Планка, деленная на . Неопределенность x-компоненты скорости электрона можно найти из соотношения

6. Время жизни атома в возбужденном состоянии 10 нс. Учитывая, что постоянная Планка , ширина энергетического уровня (в эВ) составляет не менее …

Решение: Соотношение неопределенностей для энергии и времени имеет вид , где  неопределенность в задании энергии (ширина энергетического уровня),  время жизни частицы в данном состоянии. Тогда

Тема: Уравнения Шредингера (общие свойства) 1. Стационарное уравнение Шредингера  описывает движение свободной частицы, если потенциальная энергия  имеет вид …

Решение: Вариант, где

2. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид . Это уравнение описывает …

			линейный гармонический осциллятор
			движение свободной частицы
			электрон в трехмерном потенциальном ящике
			электрон в водородоподобном атоме

Решение: линейный гармонический осциллятор

3. Верным для уравнения Шредингера , где = const является утверждение:

			Уравнение характеризует движение микрочастицы в области пространства, где потенциальная энергия – постоянная величина.
			Уравнение соответствует трехмерному случаю.
			Уравнение является нестационарным.
			Уравнение описывает линейный гармонический осциллятор.

Решение: Уравнение стационарно, так как волновая функция  не зависит от времени (отсутствует производная по времени). Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид: . Здесь  потенциальная энергия микрочастицы. По условию  const. Для гармонического осциллятора . Уравнение одномерно. Поэтому из приведенных утверждений верным является следующее: «Уравнение характеризует движение микрочастицы в области пространства, где потенциальная энергия – постоянная величина».

4. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид . Это уравнение описывает движение …

			частицы в трехмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике
			частицы в одномерном бесконечно глубоком потенциальном ящике
			линейного гармонического осциллятора
			электрона в водородоподобном атоме

Решение: Бесконечная глубина ящика (ямы) означает, что потенциальная энергия частицы внутри ящика равна нулю, а вне ящика – бесконечности. Таким образом, 0. Поэтому движение частицы в трехмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике описывает уравнение

5. Нестационарным уравнением Шредингера является уравнение …

Решение: Уравнение  называют нестационарным (временным) уравнением Шредингера, так как функция  является функцией не только пространственных координат, но и времени, и оно содержит производную от функции  по времени.

6. Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид . Здесь  потенциальная энергия микрочастицы. Одномерное движение свободной частицы описывает уравнение …

Решение: Свободной называется частица, не подверженная действию силовых полей. Это означает, что . Кроме того, для одномерного случая . Тогда уравнение Шредингера для одномерного движения свободной частицы имеет вид

7. Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид . Здесь  потенциальная энергия микрочастицы. Трехмерное движение свободной частицы описывает уравнение  …

Решение: Свободной называется частица, не подверженная действию силовых полей. Это означает, что . Поэтому трехмерное движение свободной частицы описывает уравнение .

8. Стационарное уравнение Шредингера  описывает электрон в водородоподобном атоме, если потенциальная энергия  имеет вид …

Решение: Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид  Здесь  – потенциальная энергия микрочастицы. Выражение  представляет собой потенциальную энергию электрона в водородоподобном атоме. В этом случае приведенное уравнение Шредингера описывает электрон в водородоподобном атоме.

9. Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид . Здесь  потенциальная энергия микрочастицы. Движение частицы в трехмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике описывает уравнение …

Решение: Бесконечная глубина ящика (ямы) означает, что потенциальная энергия частицы внутри ящика равна нулю, а вне ящика – бесконечности. Таким образом, 0. Поэтому движение частицы в трехмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике описывает уравнение

10. Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид . Здесь  потенциальная энергия микрочастицы. Движение частицы вдоль оси ОХ под действием квазиупругой силы описывает уравнение …

Решение: Для частицы, движущейся вдоль оси ОХ под действием квазиупругой силы, то есть силы, пропорциональной отклонению х частицы от положения равновесия, выражение для потенциальной энергии  имеет вид . Кроме того, для одномерного случая . Поэтому движение частицы вдоль оси ОХ под действием квазиупругой силы описывает уравнение .

11. Стационарное уравнение Шредингера  описывает линейный гармонический осциллятор, если потенциальная энергия  имеет вид …

Решение: Стационарное уравнение Шредингера в одномерном случае имеет вид  Здесь  – потенциальная энергия. Выражение  представляет собой потенциальную энергию линейного гармонического осциллятора. В этом случае уравнение Шредингера описывает линейный гармонический осциллятор.

12. Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид . Здесь  потенциальная энергия микрочастицы. Электрону в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками соответствует уравнение …

Решение: Для одномерного случая . Кроме того, внутри потенциального ящика U = 0, а вне ящика частица находиться не может, так как его стенки бесконечно высоки. Поэтому уравнение Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками имеет вид .

Тема: Уравнение Шредингера (конкретные ситуации) 1. Квантовая и классическая частицы с энергией Е, движущиеся слева направо, встречают на своем пути потенциальный барьер высоты  и ширины . Если  P − вероятность преодоления барьера, то для …

			квантовой частицы при   , а при
			классической частицы при   , а при
			квантовой частицы при   , а при
			квантовой частицы  зависит только от  и не зависит от

Решение: Поведение микрочастицы, встречающей на своем пути потенциальный барьер, существенно различается с точки зрения классической и квантовой механики. По классическим представлениям, если энергия частицы больше высоты барьера ( ), частица беспрепятственно проходит над барьером, то есть вероятность преодоления барьера . Если же , то частица отражается от барьера, сквозь барьер она проникнуть не может и . Согласно квантовой механике даже при  имеется отличная от нуля вероятность отражения частицы от барьера и, следовательно, вероятность преодоления барьера . При  имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет сквозь барьер и окажется в области, где , то есть .

2. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками в состоянии с квантовым числом n = 3. Если -функция электрона в этом состоянии имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон в интервале от  до  равна …

Решение:

3^й график относится к состоянию с квантовым числом n = 3. Так как площадь под кривой равна 1, а интервалу от  до  соответствует ровно площади, то вероятность обнаружить электрон равна

3. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками в состоянии с квантовым числом n = 4. Если -функция электрона в этом состоянии имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон в интервале от  до  равна …

Решение: Вероятность обнаружить микрочастицу в интервале (a, b) для состояния, характеризуемого определенной -функцией, равна . Из графика зависимости  от х эта вероятность находится как отношение площади под кривой  в интервале (a, b) к площади под кривой во всем интервале существования , то есть в интервале (0, L). Очевидно, что график зависимости от х схематически можно представить следующим образом: Тогда вероятность обнаружить электрон в интервале от  до  равна .

4. На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний электрона с различными значениями главного квантового числа n: В состоянии с n = 2 вероятность обнаружить электрон в интервале от  до  равна …

Решение: Вероятность обнаружить микрочастицу в интервале (a, b) для состояния, характеризуемого определенной -функцией, равна . Из графика зависимости  от х эта вероятность находится как отношение площади под кривой  в интервале (a, b) к площади под кривой во всем интервале существования , то есть в интервале (0, l). При этом состояниям с различными значениями главного квантового числа n соответствуют разные кривые зависимости : n = 1 соответствует график под номером 1, n = 2  – график под номером 2 и т.д. Тогда в состоянии с  n = 2  вероятность обнаружить электрон в интервале от  до  равна .

5. На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности обнаружения электрона по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний с различными значениями главного квантового числа n. В состоянии с n = 4 вероятность обнаружить электрон в интервале от  до  равна …

Решение: Вероятность обнаружить микрочастицу в интервале (a, b) для состояния, характеризуемого определенной -функцией,  равна . Из графика зависимости  от х эта вероятность находится как отношение площади под кривой  в интервале (a, b) к площади под кривой во всем интервале существования , то есть в интервале (0, l). При этом состояниям с различными значениями главного квантового числа n соответствуют разные кривые зависимости : n = 1 соответствует график под номером 1, n = 2  – график под номером 2 и т.д. Тогда в состоянии с  n = 4  вероятность обнаружить электрон в интервале от  до  равна .

6. В результате туннельного эффекта вероятность прохождения частицей потенциального барьера увеличивается с …

			уменьшением массы частицы
			увеличением ширины барьера
			уменьшением энергии частицы
			увеличением высоты барьера

Решение:

Вероятность прохождения частицей потенциального барьера или коэффициент прозрачности определяется формулой:  где постоянный коэффициент, близкий к единице, ширина барьера, масса частицы, высота барьера, энергия частицы. Следовательно, вероятность прохождения увеличивается с уменьшением массы частицы.

7. В результате туннельного эффекта вероятность прохождения частицей потенциального барьера уменьшается с …

			увеличением ширины барьера
			уменьшением массы частицы
			увеличением энергии частицы
			уменьшением высоты барьера

Решение: Вероятность прохождения частицей потенциального барьера или коэффициент прозрачности определяется формулой:  где постоянный коэффициент, близкий к единице, ширина барьера, масса частицы, высота барьера, энергия частицы. Следовательно, вероятность прохождения уменьшается с увеличением ширины барьера.

23