Задача № 4.

Розв’язати наступну задачу прийняття рішення в умовах невизначеності за мінімаксним критерієм:

де Y – множина станів зовнішнього середовища.

Розв’язання:

Мінімаксний критерій (критерій Байда):

:

:

Маємо 3 випадки:

1) , тоді Тепер максимізуємо функцію на області, котра отримана обмеженнями з умови задачі.

Лінія рівня:

2) , тоді . Тепер максимізуємо функцію на області, котра отримана обмеженнями з умови задачі.

Лінія рівня:

3)

_{На цьому графіку зображено область, що утворена обмеженнями з} умови задачі, пряма _,лінії рівня _, ,які пересуваємо вздовж і отримуємо точку перетину з нашою областю.

Точка перетину з третім обмеженням:

_{Відповідь:}

Задача № 5.

Вказати умови, яким задовольняють параметри a, b, c, d наступної гри двох осіб:

Y X	Y1	Y2
X1	1 a	3 b
X2	2 c	2 d

при яких гра має дві рівноваги за Нешем у чистих стратегіях. Знайти їх і рівновагу за Нешем для змішаного розширення гри.

(X1,Y1) – не є рівновагою Неша, тому що, Х вигідніше змінити стратегію на Х2

(Х2,Y2) - не є рівновагою Неша, тому що, X вигідніше змінити стратегію на Х1

Залишається дві ситуації, які мають буди рівновагою Неша. Для цього мають виконуватися нерівності .

Розв’яжемо у змішаних стратегіях.

Х вибирає Х1 та Х2 з ймовірностями та , - з ймов. . Тоді

1)

якщо , то для Х краще , якщо , то для Х краще ,

при Х майдуже як вибирати.

2)

якщо , то для Х краще , якщо , то для Х краще ,

при Х майдуже як вибирати.

Враховуючи умови на , що навели вище, отримаємо три рівноваги Неша

Задача № 6.

Знайти обережні стратегії гравців у наступній грі двох осіб:

Розв’язання:

- обережна стратегія

Функція залежить від нелінійно, скористаємось умовами екстремумів функцій.

це точка локального мінімуму

Потрібно знайти максимум цієї функції, маємо 3 випадки:

1)

локальний максимум

2)

.

3)

- обережна стратегія першого

Функція залежить від лінійно, тому мінімум шукаємо на одному з кінців.

Віднімемо від першого рівняння друге:

Потрібно знайти максимум функції.

- обережна стратегія другого

Задача № 7.

Знайти рівноваги за Нешем у наступній грі двох осіб:

Розв’язання:

Треба побудувати множину розв’язків першої задачі в залежності від і другої задачі в залежності від , а потім знайти перетин цих множин.

це точка локального максимуму

_{Це множина найкращих відповідей першого гравця при будь-якій стратегії другого.}

це точка локального максимуму

_{З останнього рисунку визначаємо перетин двох множин.}

_{Рівновага за Нешем:}