12.5 Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Как и в случае линейных уравнений высших порядков, наиболее полно разработаны вопросы нахождения фундаментальной системы решений для однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 (5.45)

или в матричной форме

y'=Ay. (5.45а)

Будем искать решение системы (5.45) в виде

y=αe^rt = (α₁, α₂,.., α_n)^Te^rt = (α₁e^rt, α₂e^rt,.., α_ne^rt)^T (5.46)

Подставив это решение в (5.45), получаем равенство αre^rt =Aαe^rt, откуда, сокращая на e^rt, можем записать αr = Aα или Aα-αr= Aα-Eαr = (A - rE)α =0. Последнее соотношение (A - rE)α =0 есть система для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы A. Таким образом, y=αe^rt - решение системы (5.45) тогда, когда r- собственное число, а α - ему соответствующий собственный вектор матрицы A. Возможны два случая: 1) все собственные числа различны; 2) есть кратные собственные числа. Разберём эти возможности по отдельности.

В первом случае имеем n решений

Эта система функций линейно независима, так как её определитель Вронского отличен от нуля. Действительно,

Так как система векторов α¹, α²,.., αⁿ линейно независима, то получим n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.

Во втором случае возможны два варианта. Пусть для собственного числа r_j кратности k имеется   линейно независимых собственных векторов α^j1, α^j2,.., α^jk Этот вариант ничем не отличается от предыдущего случая. Во втором варианте для собственного числа r_j кратности k имеется меньше чем k линейно независимых собственных векторов. Имеется два способа получения совокупности n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Первый основан на приведении матрицы к жордановой форме и изложен в [9,10]. Второй называется методом Эйлера и заключается в том, что для собственного числа r_j соответствующие решения находятся в виде y=P_k-1(t)e^rjt где P_k-1(t) - вектор-функция, каждая координата которой есть полином степени не выше k-1 с неопределёнными коэффициентами, подлежащими определению. Подставляя это решение в (5.45), получаем соотношения для определения коэффициентов вектор-функции P_k-1(t).

Примеры

1. Для линейной системы дифференциальных уравнений   матрица   имеет собственные числа λ₁=3 с соответствующим собственным вектором p₁=(-1,1,3)^T и λ_2,3=-1 кратности 2 с собственными векторами p₂=(1,1,0)^T и p₃=(2,0,-1)^T. Поэтому фундаментальная система решений состоит из функций p₁e^3t, p₂e^-t, p₃e^-t, а общее решение имеет вид

.

12.6 Метод решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система уравнений

                                     (1)

или

,

где  - заданная непрерывная на   вектор-функция,   - заданные постоянные числа и  , называется неоднородной системой дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение системы (1) равно сумме

                                   (2)

какого-либо ее частного решения   и общего решения   соответствующей однородной системы

.                                  (3)

В самом деле, сумма (2) при любых постоянных   есть, очевидно, решение системы (1):

.

А с другой стороны, если   есть решение системы (1), то

,

но тогда для некоторых постоянных 

.

Если известно общее решение однородной системы (3), то частное решение неоднородной системы (1) можно находить методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Пусть

- общее решение системы (3), т.е.   - линейно независимые частные решения (3):

.

Будем считать   функциями от   и подберем их так, чтобы функция

                            (4)

была частным решением неоднородной системы (1). Дифференцируя, имеем

.

Подставляя значения   и   в (1’), получаем

,

или

.

Так, как  , то для определения   мы получаем систему

                             (5)

с непрерывными на   вектор-функциями   и  .

Система (5) является линейной относительно   с определителем, равным определителю Вронского системы векторов  . Так как этот определитель не равен нулю, то система (5) имеет единственное решение:  . Функции   непрерывны, потому что непрерывны вектор-функции   и  .

Интегрируя, находим

.

Подставляя эти значения в (4), получаем частное решение системы (1).

Пример 1. Решить систему

Легко проверить, что

является общим решением однородной системы. Найдем частное решение неоднородной системы методом Лагранжа. Будем считать   функциями от  .

Тогда

Подставляя эти значения производных и сами функции в нашу систему, получаем

Определитель данной системы есть определитель Вронского

.

Поэтому система разрешима:

.

Интегрируя, получаем

.

Таким образом, частное решение имеет вид

.

Общее решение можно записать в форме

.

В векторной (матричной) форме это выглядит так:

.

Ниже на примерах будет показано, как можно найти частное решение системы (1), когда  , где   - заданные постоянные числа.

Частное решение линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда правые части   имеют специальный вид ( или  ), можно находить по аналогии с решением неоднородного дифференциального уравнения.

Пример 2. Решить систему

Сначала решаем однородную систему. Характеристическое уравнение

имеет корни  . Значит, общее решение однородной системы запишется в виде

.

Свободным членам системы   соответствуют числа 1 и 3. Число 1 не есть корень характеристического уравнения, а 3 есть его корень первой кратности. По аналогии, как для одного уравнения, полагаем

Подставляя эти функции в нашу систему, находим

Общее решение неоднородной системы запишется:

,

.