11.7Уравнения в полных дифференциалах.
Уравнение
(1)
называется уравнением
в полных дифференциалах,
если его левая часть является полным
дифференциалом некоторой функции 
,
т.е.
.
Теорема.
Если
функции 
непрерывны
в некоторой односвязной области 
,
то условие
является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение
было полным дифференциалом функции .
Если
известна функция, полным дифференциалом
которой является левая часть уравнения
(1), то все решения этого уравнения имеют
вид 
,
где 
-
произвольная постоянная.
Чтобы найти функцию нужно воспользоваться равенствами
.
(2)
Интегрируя первое из этих равенств по x, определим функцию с точностью до произвольной дифференцируемой функции переменного y:
,
(3)
где 
-
произвольная дифференцируемая функция.
Функция 
,
такая что 
.
Дифференцируя (3) по y,
с учетом второго равенства из (2) получаем
уравнение для определения
:
.
11.7
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка |
|
Определение линейного уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение вида
где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:
Использование интегрирующего множителя Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:
то интегрирующий множитель определяется формулой:
Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x). Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:
где C − произвольная постоянная. Метод вариации постоянной Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:
Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x). Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату. Задача Коши Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x0) = y0, то такая задача называется задачей Коши. Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x0) = y0. |
