11 Вопросы по теме «обыкновенные дифференциальные уравнения».
11.1
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую перемен-
ную, её функцию и производные различных порядков этой функции.
Общий вид дифференциального уравнения n-ого порядка:
F( x,y,y′,y”.yв степени (n) ) = 0
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной в него входящей.
Определение 2. Любая функция y′( x ), которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению , т.е. обращает его в тождество при замене y и его производных на ɥ(x) и её произ-
водные называется решением дифференциального уравнения.
Замечание 1. Если искомая функция y ′=ɥ( x ) зависит от одной переменной то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Замечание 2. Если искомое решение получено в неявном виде, то это интеграл уравнения.
График решения обыкновенного дифференциального уравнения I - ого порядка называется интегральной кривой этого уравнения.Термин проинтегрировать дифференциальное уравнение означает найти те или иные его решения.
11.2
Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое его решение:
y ( x,C ,C ,...,Cn ), которое содержит столько независимых произвольных постоянных
C1, C2 ,Cn ,..., каков порядок этого уравнения.Если общее решение задано в неявном виде
Ф( x,y,C1,C2,...,Cn) = 0 , то его называют общим интегралом.
Дифференциальные уравнения первого порядка.Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:
F(x,y, у′)) = 0 (2) или y′ f(x,y) - форма дифференциального уравнения разрешённого относительно производной,
M(x,y)dx N(x, y)dy = 0 - форма дифференциального уравнения в дифференциалах.
Определение 1. Общим решением дифференциального уравнения (2) называется такая функция ɥ(x,C) двух
аргументов x и C , которая при постоянном C рассматривается как функция одного перемен-
ного. Решения ɥ(ч,C0) , которые получаются из общего решения ɥ(x,C) при нахождении постоянной C = C0
, называются его частными решениями.
бесконечного семейства интегральных кривых выделяется одна инте-
гральная кривая, которая соответствует частному решению диффе-
ренциального уравнения. Это означает наличие начального условия .
Замечание 1. Если решение дифференциального уравнения не
может быть получено из общего ни при каких начальных условиях
оно называется особым.
11.3 Понятие интеграла дифференциального уравнения
Дифференциальное
уравнение (ДУ) –
это уравнение, в которое входит неизвестная
функция под знаком производной или
дифференциала.
Если неизвестная
функция является функцией одной
переменной, то дифференциальное уравнение
называют обыкновенным (сокращенно
ОДУ – обыкновенное дифференциальное
уравнение). Если же неизвестная функция
есть функция многих переменных, то
дифференциальное уравнение
называютуравнением
в частных производных.
Максимальный
порядок производной неизвестной функции,
входящей в дифференциальное уравнение,
называется порядком
дифференциального уравнения.
Вот
примеры ОДУ первого, второго и пятого
порядков соответственно
В
качестве примеров уравнений в частных
производных второго порядка
приведем
Далее
мы будем рассматривать только обыкновенные
дифференциальные уравнения n-ого порядка
вида 
или 
,
где Ф(x,
y) = 0 неизвестная
функция, заданная неявно (когда возможно,
будем ее записывать в явном представлении y
= f(x)).
Процесс
нахождения решений дифференциального
уравнения называется интегрированием
дифференциального уравнения.
Решение
дифференциального уравнения -
это неявно заданная функция Ф(x,
y) = 0 (в
некоторых случаях функцию y можно
выразить через аргумент xявно),
которая обращает дифференциальное
уравнение в тождество.
ОБРАТИТЕ
ВНИМАНИЕ.
Решение дифференциального
уравнения всегда ищется на заранее
заданном интервале X.
Почему
мы об этом говорим отдельно? Да потому
что в условиях многих задач об
интервале X не
упоминают. То есть, обычно условие задач
формулируется так: «найдите решение
обыкновенного дифференциального
уравнения
».
В этом случае подразумевается, что
решение следует искать для всех x,
при которых и искомая функция y,
и исходное уравнение имеют смысл.
Решение
дифференциального уравнения часто
называют интегралом
дифференциального уравнения.
Функции 
или 
можно
назвать решением дифференциального
уравнения 
.
Одним
из решений дифференциального
уравнения 
является
функция 
.
Действительно, подставив эту функцию
в исходное уравнение, получим тождество 
.
Несложно заметить, что другим решением
этого ОДУ является, например, 
.
Таким образом, дифференциальные уравнения
могут иметь множество решений.
Общее
решение дифференциального уравнения –
это множество решений, содержащее все
без исключения решения этого
дифференциального уравнения.
Общее
решение дифференциального уравнения
еще называют общим
интегралом дифференциального
уравнения.
Вернемся
к примеру. Общее решение дифференциального
уравнения
имеет
вид 
или 
,
где C –
произвольная постоянная. Выше мы указали
два решения этого ОДУ, которые получаются
из общего интеграла дифференциального
уравнения
при
подстановке С
= 0 и C
= 1соответственно.
Если
решение дифференциального уравнения
удовлетворяет изначально заданным
дополнительным условиям, то его
называют частным
решением дифференциального
уравнения.
Частным
решением дифференциального уравнения
,
удовлетворяющим условию y(1)
= 1,
является 
.
Действительно, 
и 
.
Основными
задачами теории дифференциальных
уравнений являются задачи Коши, краевые
задачи и задачи нахождения общего
решения дифференциального уравнения
на каком-либо заданном интервале X.