11.8 Неменее трех вариантов дифференциального уравнения с методом понижения его порядка

Во многих случаях удается свести дифференциальное уравнение  -го порядка

                                                          (1)

к дифференциальному уравнению более низкого порядка, путем введения новой неизвестной функции. Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно искомую функцию  , т. е. уравнение имеет вид

.                                                     (2)

Введем новую функцию  , тогда   и уравнение (2) перепишется так:

,                                                              (3)

т. е. относительно функции   оно представляет собой уравнение  -го порядка.

Любое решение  , этого уравнения мы должны подставить в дифференциальное уравнение   и решить последнее относительно  :

.

Появилась произвольная постоянная. Часто некоторые решения дифференциального уравнения (3), не обязательно все, образуют семейство функций

,

зависящих от   параметров  . Ему соответствует семейство решений   дифференциального уравнения (2)

,

зависящих от   параметров  .

Пример 1.  .

Здесь функция   явно не входит в уравнение. Полагая  , находим   и наше уравнение принимает вид  . Разделяя переменные, имеем

,

т.е.

.

Но  , значит,  .

II. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно независимую переменную  :

.                                                     (4)

Будем считать в этом уравнении   независимым переменным, а   - искомой функцией. Обозначим  .

Тогда

Подставляя эти значения в (4), получим дифференциальное уравнение   - го порядка относительно  . Пусть  , есть решение этого дифференциального уравнения, отличное от нуля на  . Так как  , то

.

Мы получили решение   исходного уравнения (4) в неявной форме. При этом оно зависит от произвольной постоянной  .

Но часто функции   получаются в виде семейств функций

,

зависящих от   параметров  . Им соответствующие решения   в свою очередь образуют семейство

функций, зависящих от   параметров  .

Пример 2.  .

Здесь   явно не присутствует, поэтому полагаем  . Подставляя эти значения в уравнение, имеем   или  .

Отсюда   и  .

Если  , то  .

Если  , то, разделяя переменные, получаем

III. Левая часть уравнения (1) - однородная функция степени   относительно переменных  , т. е.

.

Для понижения порядка вводим новую функцию   по формуле

.

Тогда

Подставляя эти значения в уравнение (1), получим

или в силу однородности функции

.

Так как  , то отсюда  получаем  дифференциальное уравнение   - го порядка

.

Пусть   есть решение этого  уравнения. Так как  , то

,

где   - произвольная постоянная. И если оказалось, что

,

то

,

где   - произвольные постоянные.

Пример 3. Решим этим методом уравнение предыдущего примера.

Функция   - однородная функция второй степени по отношению  . Функция   - решение уравнения. Будем считать, что  . Полагая  , имеем  . Подставляя эти значения в уравнение, получаем

.

Отсюда  . Функция   - решение данного уравнения (тогда   - решение исходного уравнения). Пусть  , тогда

 - общее решение. Отметим, что решение   получается из общего при   .