8.4 Определение необходимого времени проведения радиометрических измерений с заданной точностью

При радиометрических измерениях предварительно задаются допустимой погрешностью r, выраженной в процентах, %:

. (8.10)

Из (9.10) легко найти количество импульсов n, которое необходимо зарегистрировать, чтобы погрешность составила r %:

. 8.11)

Уравнение (9.11) применяют для оценки необходимого числа импульсов только при условии, что скорость счета фона в уравнении (9.4) много меньше скорости счета препарата. В противном случае используют следующие уравнения для определения времени измерения препарата с фоном и фона при заданной точности r %:

, (8.12)

. (8.13)

Уравнения (8.12) и (8.13) получены минимизацией суммарного времени . Для этого выражают r через уравнения (8.4) и (9.9):

.

Далее выражают и получают уравнение для t как функции t_пф:

. (8.14)

После дифференцирования (8.14) по t_пф и приравнивания производной 0 получим уравнение (8.12). Аналогично получаем уравнение (8.13).

Из уравнений (8.12) и (8.13) следует, что время измерения будет быстро возрастать с уменьшением разности I_пф – I_ф. Очевидно, что наибольшие проблемы будут возникать при измерении малых активностей, которые наблюдаются при исследовании объектов окружающей среды. В этом случае для уменьшения времени измерений применяются установки малого фона, в которых используются схемы совпадений для уменьшения влияния космического излучения. Скорости счета фона в таких установках могут быть уменьшены до примерно 0,01 имп/с. Низкие значения скорости счета фона наблюдаются в альфа-спектрометрах и гамма-спектрометрах.

8.5 Проверка правильности работы счетной аппаратуры

Проверяется выполнение распределения Пуассона при анализе данных, полученных на счетной установке. В математической статистике показано, что выборочная дисперсия s² связана с дисперсией генеральной совокупности σ² следующим уравнением:

, (8.15)

где χ² – распределение «хи-квадрат» или распределение Пирсона, математическое ожидание которого равно k–1, где k – число независимых экспериментов.

При проверке правильности работы счетной аппаратуры проводят k определений одного и того же препарата без изменения его положения. Тогда выборочная дисперсия s² может быть рассчитана по уравнению:

. (8.16)

Подставив (8.16) в (8.15), получим с учетом :

. (8.17)

В таблицах распределения Пирсона даны вероятности P того, что значение χ² будет больше приведенного в таблице значения. Обычно значимым отклонением от распределения Пуассона считаются случаи, когда вероятность P больше 0,95 или меньше 0,05. В табл. 8.2 представлены значения χ² для P = 0,95 и 0,05 в зависимости от числа степеней свободы k–1. Видно, что отношение сначала быстро уменьшается с ростом числа степеней свободы от 1 (980) до 9 (5,08), а затем уменьшение замедляется и при 19 оно равно 2,97, а при 40 – 2,10. Поэтому обычно число опытов при использовании этого метода должно быть больше 9, но редко, когда оно превосходит 20.

Таблица 8.2 – Значения χ² для P = 0,95 и 0,05 в зависимости от числа степеней свободы k–1.

k–1	1	3	5	7	9	14	19	24	29	40
P = 0,95	0,0039	0,352	1,145	2,17	3,33	6,57	10,1	13,85	17,71	26,50
P = 0,05	3,84	7,81	11,07	14,07	16,90	23,70	30,10	36,40	42,60	55,80
	980	22,20	9,67	6,48	5,08	3,61	2,97	2,63	2,41	2,10

Возникает вопрос: что делать, если значение χ² выходит за пределы интервала доверительной вероятности 0,95 > P > 0,05? Вероятность такого события достаточно большая – 0,10, т.е. в каждом десятом случае возможно получение значения χ², которое больше или меньше значений, приведенных в табл. 9.2. Если это произошло, например, χ² >  , то можно рекомендовать простую процедуру. Необходимо провести дополнительно не менее 10 измерений одного и того же препарата в близких условиях и рассчитать снова значение χ². Если оно снова окажется в той же области: χ² >  , то вероятность того, что такое событие произошло случайно, будет равна произведению 0,05·0,05 = 0,0025, т.е. очень мала и следует признать, что аппаратура действительно работает неправильно.