Т5. Интерполирование функций. §1. Постановка задачи.

Пусть на отрезке [a,b] заданы точки х_0, х₁, …, х_n которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции y = f(x) в этих точках

y₀=f(x₀), y₁=f(x₁) …, y_n=f(x_n) (1)

Требуется построить функцию y=F(x), которую называют интерполирующей функцией, принадлежащую известному классу функций и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что

F(x₀)=y₀, F(x₁)=y₁, …, F(x_n)=y_n (2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y=F(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M_i (x_i , y_i)

В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений. Эта задача становиться однозадачной, если вместо произвольной функции y=F(x) искать полином P_n(x) степени не выше n, удовлетворяющей условиям (2).

P_n(x₀)=y₀, P_n(x₁)=y₁, …, P_n(x_n)=y_n (3)

F(x)=P_n(x)=a₀xⁿ + a₁xⁿ⁺¹ + … + a_n-1x + a_n

Этот многочлен имеет n+1 коэффициент.

Требуя для P_n(x) выполнения условий (3) получаем систему (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными a_i

(4)

Решая эту систему относительно неизвестных a₀, a₁, a₂, …, a_n получим аналитическое выражение полинома P_n(x). Система (4) всегда имеет единственное решение, т.к. её определитель:

называемый определителем Вандермонда, ≠ 0.

Т.О. интерполяционный многочлен P_n(x) для функции y=f(x), заданной таблично существует и единственен.

Этот прием можно использовать для практического решения задачи интерполирования многочленом, но на практике используются другие более удобные и менее трудоемкие способы.

Одной из целей задачи интерполяции является вычисление значения функции в произвольной точке x_k.

При этом различаются интерполирование, когда x_k [x₀, x_n] и экстраполирование, когда x_k [x₀, x_n].

§2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пусть функция y=f(x) задана таблицей

xi	x0	x1	…	xn
f(xi)	y0	y1	…	yn

Построим интерполяционный многочлен L_n(x) степени не выше n, имеющий в заданных узлах x_i, те же значения что и функция f(x), т.е.

L_n(x_i)=y­_I, (3 )

Будем искать L_n(x) в виде

L_n(x)=l₀(x) + l₁(x) + … + l_n(x) (5)

где: l_i(x) – многочлен степени n, причем

l_i(x_k) = (6)

Очевидно, что требование (6) с учетом (5) вполне обеспечивает выполнение условий (3 ).

Многочлены l_i(x) составим следующим образом:

l_i(x)=c_i­(x-x₀)( x-x₁) … (x-x_i-1)(x-x_i+1) … (x-x_n) (7)

где: c_i – постоянный коэффициент и его значение найдем из того, что

l_i (x_k)=y_i, если i=k, т.е.

Подставив c_i­ в (7) найдем l_i(x), а затем L(n) с учетом (5), т.е.

(8)

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.

Для записи интерполяционного многочлена Лагранжа удобно пользоваться таблицей:

x – x0	x0 – x1	x0 – x2	…	x0 – xn	∆0	f­0
x1 – x0	x – x1	x1 – x2	…	x1 – xn	∆1	f1
x2 – x0	x2 – x1	x – x2	…	x2 – xn	∆2	f2
…	…	…	…	…	…	…
xn – x0	xn – x1	xn – x2	…	x – xn	∆n	fn
Пn+1(x)=(x – x0)(x – x1) … (x - xn)					∆i	fi

Здесь ∆_i – произведение элементов i-ой строки,

П_n+1(х) – произведение элементов главной диагонали,

y_i=f(x_i)=f_i, .

Тогда многочлен Лагранжа может быть записан в форме:

(9)

Пример: Построить многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей:

I	0	1	2	3
xi	2	3	4	5
fi	7	5	8	7

Вычислить значение функции в точке х=2,5.

Решение:

Составим таблицу:

x – 2	2 – 3	2 – 4	2 – 5	-6(x – 2)	7
3 – 2	x – 3	3 – 4	3 – 5	2(x – 3)	5
4 – 2	4 – 3	x – 4	4 – 5	-2(x – 4)	8
5 – 2	5 – 3	5 – 4	x – 5	6(x – 5)	7
П4(x)=(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)

По формуле (9) получим:

,

L₃(2.5)=4.8125

Если в примере нужно просто найти значение функции в точке x=2,5, то сразу вместо x подставляем 2,5, т.е. составляем следующую таблицу:

x=2,5	x0	x1	x2	x3	∆i	fi	fi/∆i
x0	0.5	-1	-2	-3	-3	7	-2.333
x1	1	-0.5	-1	-2	-1	5	-5
x2	2	1	-1.5	-1	3	8	2.667
x3	3	2	1	-2.5	-15	7	-0.467

∑=-5.893

L_n(2.5)=0.5*(-0.5)*(-1.5)*(-2.5)*(-5.893)=4.8122