П.3. Метод Ньютона (метод касательных).
Пусть
уравнение f(x)
= 0 имеет корень
,
причем
и
непрерывны и сохраняют постоянные знаки
на
.
Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой у = f(x) заменяется касательной к этой кривой.
Первый случай. > 0
f(x) возрастает и вогнута, f(x) убывает и выпукла,
f(а) < 0, f(b) > 0. f(а) > 0, f(b) < 0.
Проведем
касательную к кривой у = f(x)
в точке
и найдем абсциссу точки пересечения
касательной с осью ох.
.
При
у = 0 найдем
–
точку пересечения с осью ох.
,
.
Теперь
корень уравнения
.
Применяя снова метод Ньютона, проведем
касательную к кривой в точке
.
Получим:
и
т.д.
.
Получаем
последовательность
,
,
…,
,
… . Каждый последующий член ближе к
точному корню
,
чем предыдущий.
Однако все > , т.е. – приближенное значение корня с избытком.
Второй случай. < 0.
f(x) возрастает и выпукла, f(x) убывает и вогнута,
f(a) < 0, f(a) > 0. f(a) > 0, f(b) < 0.
Касательная
в точке B
пересечет ось ох
в точке
.
Поэтому
проведем касательную в точке
и запишем ее уравнение:
.
Полагая,
что у = 0,
:
;
.
Применяя
снова метод Ньютона, проведем касательную
в точке
и получим:
и т.д.
.
Правило.
При выборе начального приближения корня
за исходную точку следует выбрать тот
конец
,
в котором знак функции совпадает со
знаком
.
В первом случае:
f(b)
·
> 0 и начальная точка
.
Во втором случае:
f(а)
·
> 0 и начальная точка
.
Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой:
,
где
.
Эта формула годится и для метода хорд.
З
амечание.
Если производная
мало изменяется на
,
то для упрощения вычислений можно
пользоваться формулой:
,
т.е. значение производной в начальной точке достаточно вычислить только один раз.
Геометрически
это означает, что касательная в точках
заменяются прямыми, параллельными
касательной, проведенной в точке
.
П4. Методы хорд и касательных.
Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, и уточнение корня происходит быстрее.
Пусть дано уравнение f(х) = 0, корень отделен и принадлежит .
Если > 0, то метод хорд дает приближения корня с недостатком, а метод касательных – с избытком.
В этом случае для метода хорд следует взять конец а, для метода касательных – b, тогда:
,
.
Теперь
.
Применяя к этому отрезку комбинированный
метод, получаем:
,
и
т.д.
;
(2).
Если же < 0, то методом хорд получаем значение корня с избытком, а методом касательных – с недостатком.
В этом случае конец а берется для метода касательных, а b – для метода хорд. Тогда:
,