П4. Метод Зейделя.
Метод Зейделя представляет собой
модификацию метода итераций. Основная
его идея заключается
в том, что при вычислении (к+1)-го
приближения неизвестной
учитываются уже вычисленные ранее
(к+1)-е приближения неизвестных:
.
Пусть дана приведенная линейная система:
,
.
Выберем произвольное начальное
приближение
.
Далее предполагая, что k-е
приближение
корней известны, согласно методу Зейделя
будем строить (к+1)-е приближения
корней по формулам.
В каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных из предыдущих уравнений.
Замечание.
1) Для обеспечения сходимости метода Зейделя требуется преобразовать систему А · х = В к виду с преобладанием диагональных элементов;
2) Условие преобладания диагональных элементов является достаточным для сходимости, но не является необходимым;
3) Метод Зейделя называется последовательным итерированием, т.к. на каждой итерации, полученные из предыдущих уравнений значения подставляются в последующие.
П5. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов.
Рассмотрим линейную систему следующего вида:
или:
(1),
где:
,
.
Каждое уравнение системы связывает 3 соседних неизвестных.
К таким системам сводится решение дифференциальных уравнений методами конечных разностей, решение задач сплайн – интерполяции функций и др.
Система имеет трехдиагональную структуру:
.
Предположим, что существуют такие наборы
чисел
и
,
при которых
(2).
Уменьшим в уравнении (2) индекс на 1 и полученное выражение подставим в (1):
,
,
(3).
Равенство (3) имеет такой же вид, что и равенство (2) и будет точно с ним совпадать, если при всех выполняются соотношения:
,
(4).
В силу условия
:
;
;
;
;
,
т.к.
;
;
по равенству (2);
;
;
.
Решение систем таким способом, называемым
«методом прогонки», сводится к вычислениям
коэффициентов
(прогоночные коэффициенты) по формулам
(4) – прямая прогонка и затем получение
неизвестных
по форме (2) – обратная прогонка.
Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на ноль, а при больших размерностях систем не должно быть быстрого роста погрешностей округлений.
Будем называть прогонку корректной,
если знаменатели прогоночных коэффициентов
(4) не обращаются в нуль, и устойчивой,
если
при всех
.
Теорема (достаточные условия корректности и устойчивости прогонки).
Пусть коэффициенты
и
уравнения (1) i
= 2, 3,…,n-1
отличны от нуля и пусть:
,
(5),
тогда прогонка (4) и (2) корректна и устойчива; т.е.:
,
.
Доказательство.
Воспользуемся методом математической индукции.
При i=1 в силу (5):
,
значит:
.
Отсюда следует,
что знаменатели для
и
отличны от нуля, а также:
.
Предположим, что
знаменатели
прогоночных коэффициентов не равны
нулю и что
,
тогда:
а с учетом этого:
.
Следовательно:
и
.
Ч.т.д.
Пример.
.
Решение.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
.
Ответ: (-4; -2; 0; 2; 4).