П2. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).

Пусть дана система (1). Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, к треугольному виду):

где . Коэффициенты называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой степени.

Замечание Метод Гаусса имеет ограничение, связанное с тем, что ведущие элементы не должны быть равны нулю и не должны быть малыми по модулю, т.к. в этом случае погрешности вычислений будут большими. Поэтому в качестве ведущего элемента выбирают max по модулю путем перебора этих элементов по столбцу, соответствующему этому ведущему элементу, который называется главным элементом.

П3. Метод итераций (метод последовательных приближений).

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(1),

или в матричном виде: А · х = В (2), где:

А=( ), .

, .

Предполагая, что диагональные элементы 0, разрешим первое уравнение системы (1) относительно , второе – относительно и т.д. Получим:

(2),

или: (3),

где:

Система (3) называется системой, приведенной к нормальному виду.

Введя обозначения:

, ,

запишем систему (3) в матричной форме: , или:

(4).

Решим систему (4) методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов:

.

Подставляя в (4) получим:

,

затем: и т.д.

(5).

Итерации прерываются при выполнении условия:

, где:

- норма вектора, - max .

Теорема (условие сходимости итерационного процесса).

Если сумма модулей элементов строк или сумма модулей элементов столбцов меньше единицы, то процесс итераций для данной системы сходится к единственному решению, независимо от выбора начального приближения, т.е.:

при ,

или: при .

На практике поступают следующим образом. Из заданной системы А · х = В выделяют уравнения с коэффициентами, модули которых больше или равны сумме модулей остальных коэффициентов уравнения. Каждое выделенное уравнение выписывают в такую строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным.

Из оставшихся использованных уравнений системы составляют между собой линейные комбинации с таким расчетом, чтобы был соблюден указанный выше принцип комплектования новой системы и все свободные строки оказались заполненными. При этом каждое использованное ранее уравнение должно попасть хотя бы в одну линейную комбинацию, являющуюся уравнением новой системы.

Например:

В итоге получаем преобразованную линейную систему, эквивалентную исходной и удовлетворяющей условию сходимости итерационного процесса.

Пример. Методом итераций с точностью Е=0,01 решить:

Решение. Переставим уравнения местами так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов.

,

,

,

, ,

, ,

, .

Ответ: (0,9996; 0,9995; 0,9993) ,

точное решение: (1; 1; 1) .