§2. Метод итераций.

Для применения этого метода требуется привести систему (1) к равносильному виду:

(2),

где функции и определены и непрерывны в окрестности изолированного решения .

Вычислим значения функций и и примем их за первое приближение искомого решения, т.е. :

Затем находим:

и т.д.

(3).

Если < ,то процесс завершен и есть приближенное значение искомого решения .

Система (1) должна быть преобразована к виду (2), т.е., чтобы выполнялось условие сходимости.

Теорема (о достаточном условии сходимости метода итераций).

Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одна, и только одна пара корней системы (2). Если:

1) функции и определены и непрерывно дифференцируемы в ,

2) начальное приближение и все последующие

приближения …, принадлежат .

3) в выполнены неравенства:

(4),

то процесс последовательных приближений сходится к корням системы (2).

Замечание. Теорема считается верной, если условие (4) заменить на :

.

§3. Метод Зейделя.

Метод Зейделя предназначен для решения систем, записанных в виде (2). Этот метод является модификацией метода итераций, где после задания начального приближения вместо параллельного итерирования производится последовательное итерирование. Причем на каждой итерации в каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных, полученных из предыдущих уравнений на этой же итерации.

Методика решения задачи та же, что и для метода итераций, за исключением формулы (3):

.

§4. Метод Ньютона.

Пусть задана нелинейная система уравнений:

(1),

и пусть – приближенные корни системы.

Полагаем:

Получим:

(2).

Применим формулу Тейлора и ограничимся линейными членами относительно . Будем иметь:

(3).

Если Якобиан:

то из системы (3) находим:

,

.

Следовательно, можно продолжить:

(4).

Продолжая этот процесс:

,

.

Достаточное условие сходимости: .

Условие окончания итерационного процесса:

Пример.

.

Решение.

; .

,

;

;

;

Таким образом:

Повторяя этот процесс с полученными значениями корней, получим:

Отсюда следует, что:

Ответ:

Т4. Численные методы решения задач линейной алгебры. §1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау). П1. Постановка задачи.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

(1),

где – коэффициент системы - неизвестные, - свободные члены.

Сокращенно (в матричном виде) система (1) записывается в виде: А · х = В, где:

,

, .

Решением системы (1) называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая обращает все уравнения системы в верные равенства.

Систему линейных уравнений называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной (противоречивой), если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет однородное решение, и неопределенной, если более одного решения. Две системы линейных уравнений называют эквивалентными (равносильными), если каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот.

Матрица:

называется расширенной. Система (1) имеет единственное решение, если и имеет большое множество решений, если . Если матрица А квадратная и , то она называется невырожденной. Система линейных уравнений с невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение.

Такие системы можно решать по формулам Крамера:

, ,

или с помощью обратной матрицы: .

Однако при больших значениях n эти методы не применяются, т.к. уже при n = 100, время необходимое для решения на ЭВМ примерно 3·10 лет, если одно слагаемое вычисляется за 10 секунд. Фактически же в настоящее время с использованием подходящих методов решаются системы порядка до n 10 .

Что же это за методы? Их множество. В целом они разделяются на две группы: прямые и итерационные.

Прямые методы (конечные) позволяют теоретически (в предположении, что вычисления проводятся без ошибок округления) получить точные решения системы (1). К прямым методам относятся: метод Крамера, метод Гаусса и его модификации. Прямые методы применяются, как правило, с числами порядка не выше 10 .

Итерационные методы (методы последовательных приближений) позволяют вычислять последовательность векторов , сходящуюся при к решению задачи (2). К итерационным методам относятся: метод простых итераций, метод Зейделя, метод релаксаций, градиентные методы и их модификации. На практике итерационные методы применяются с числом порядка 10 .