П4. Погрешности вычислений с приближенными данными.

Если вычисления производятся со строгим учетом погрешностей, то принимаются следующие правила:

предельная абсолютная погрешность суммы и разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т.е.:

и ;

относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей сомножителей:

, ;

относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя:

, ;

при возведении приближенного числа а в n-ую степень его относительная погрешность увеличивается в n раз, т.е.:

,

.

При массовых вычислениях, когда не учитывается погрешность каждого промежуточного результата, пользуются следующими правилами подсчета верных цифр:

1) при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков;

2) при умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом верных значащих цифр;

3) при возведении в степень или при извлечении корня следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в основании степени;

4) при вычислении промежуточных результатов следует сохранить на одну цифру больше, чем рекомендуют правила 1-3. В окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается;

5) если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при других действиях), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну «запасную» цифру.

Эти правила даются в предположении, что компонент действий содержат только верные цифры, и число действий невелико.

Т2. Методы решения нелинейных уравнений. §1. Постановка задачи.

Пусть дано уравнение:

f(х)=0 (1),

где f(x) – некоторая функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. Функция f(x) может быть задана в виде алгебраического выражения или трансцендентной функции. Тогда уравнение называется алгебраическим или трансцендентным.

Задача решения уравнения с одним неизвестным представляет собой задачу нахождения корней уравнения (1) или нулей функции f(x).

Корни уравнения сравнительно редко можно найти точно (кроме того, уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно), и, следовательно, важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и способы оценки степени их точности.

Решение этой задачи распадается на 2 этапа:

отделение корня – выделение отрезка, принадлежащего D(f), на котором расположен один, и только один корень уравнения (1). Границы этого отрезка можно рассматривать как первое приближение искомого корня (левая граница – с недостатком, правая – с избытком);

построение процесса, позволяющего как угодно сузить границы выделенного отрезка, т.е. позволяющего найти приблизительное значение корня уравнения (1) с любой заданной точностью.

§2. Отделение корней уравнения.

Для отделения корня уравнения:

f(x) = 0 (1)

необходимо иметь критерий, позволяющий убедиться в том, что:

на отрезке имеется корень уравнения (1);

этот корень будет единственным.

Этим критерием является следующая теорема из математического анализа.

Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка , т.е. f( ) * f( ) < 0, то внутри этого отрезка содержится, по крайней мере, один корень уравнения (1), т.е. найдется хотя бы одно число ( ): такое, что f( )=0. Корень будет единственным, если производная f ' (x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала ( ), т.е. f '(x)>0 или f '(x)<0 при х ( ).

Замечание 1. Если непрерывная на отрезке функция f(x) монотонна, а на концах отрезка ее значения имеют одинаковые знаки, то на этом отрезке нет ни одного корня уравнения (1).

Замечание 2. Для того, чтобы отделить все действительные корни уравнения (1), достаточно указать все интервалы монотонности функции f(x), т.к. на каждом из этих интервалов может быть не более одного корня.

Замечание 3. Отделение корня считается завершенным, если указан конечный промежуток, содержащий единственный корень уравнения.

Пример. Отделить корни уравнения

х - 3х – 1=0.

f(x)= ,

f '(x)=3х -3=3·(х-1)·(х+1),

f '(x)=0,

х =-1;

х =1.

. .

+ -1 - 1 +

(- ;-1), (-1;1) (1;+ ) – интервалы монотонности.

f(x) = ( -3х-1) = - < 0,

> 0,

< 0,

> 0.

Итак, уравнение имеет 3 корня на интервалах:

(- ; -1); (-1; 1); (1;+ ).

Первый и третий интервалы – бесконечные. Чтобы сделать их конечными, достаточно проверить значения функции f(x) в целых точках.

f (-2) = -8+6-1= -3, -3<0;

f (2) = 8-6-1 = 1, 1>0.

Следовательно, отрезки , , содержат действительные корни данного уравнения.

Дадим теперь оценку погрешности приближенного корня.

Теорема 2. Пусть - точный, а - приближенный корни уравнения f(x) = 0, находящиеся на одном и том же отрезке , причем m >0 при х ; тогда:

.

В частности за m можно взять наименьшее значение при х .

Доказательство:

Применяя теорему Лагранжа, будем иметь:

,

где ,

т.е. .

Т.к. и ,

то .

Отсюда следует, что:

.

Замечание. Иногда на практике полагают, что - , а точность приближенного корня оценивают по тому, насколько хорошо он удовлетворяет данному уравнению, т.е. если число малое, то считают, что является хорошим приближением корня. Такой подход является неправильным.

< .

корни ,

N· корни .

> .

< ,

N· > при каком-либо N.