П4. Погрешность интерполяционных процессов.
Пусть функция f(x) = Pn(x) + Rn(x), где Rn(x) – остаточный член интерполяционной формулы f(x) ≈ Pn(x).
Остаточный член зависит от многих факторов – от свойств функции f(x), параметров интерполирования, положения точки интерполяции.
Если точка интерполирования x*
фиксирована, то за меру погрешности
принимают величину ∆1 = |Rn(x*)|.
Если точка x* заранее
неизвестна, а интерполирование
осуществляется на отрезке [a,
b], то за меру погрешности
принимают ∆1 = |Rn(x*)|
≤
|Пn+1(x*)|,
где: Mn+1
=
|f(n+1)(x)|
∆1 = max |Rn(x)| ≤ max|Пn+1(x*)|
§4. Метод наименьших квадратов. П1. Постановка задачи.
Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости y = f(x)
x |
x1 |
x2 |
… |
xn |
f(x) |
y1 |
y2 |
… |
yn |
Табл.1
Нужно найти функциональную зависимость между x и y в виде по возможности простой формулы.
Можно применить метод интерполяции, однако совпадение значений в узлах не всегда означает совпадение характеров поведения исходной и интерполяционной функции. Это требование тем более не оправдано, если значения функции f(x) получены в результате измерений и являются сомнительными.
Таким образом, поставим задачу там, чтобы с самого начала обязательно учитывался характер исходной функции.
Задача: Найти функция заданного типа y = φ(x) (1)
которая в точках xi(i
=
)
принимает значение как можно более
близкие к табличным значениям yi(i
=
)
Практически вид приближающей функции φ(x) можно определить следующим образом: По таблице строиться точечный график функции f, а затем проводиться плавная кривая, во возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек.
По полученной таким образом кривой устанавливается вид прилегающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций).
Строгая функциональная зависимость для экспериментально полученной таблицы наблюдается редко, т.к. каждая из участвующих в ней величин может зависеть от многих случайных факторов.
Однако формула (1) (она называется эмпирической или уравнением регрессии y на x) интересна тем, что позволяет находить значения функции f для не табличных значений x,“сглаживая ”результаты измерения величины y.
П2. Критерий согласия.
Вопрос заключается в том, как найти кривую, которая приближенно соответствует исходной информацией с достаточной точностью. Таким образом, необходимо выработать критерий, которому та или иная кривая является достаточно “хорошим” приближением к исходной информации.
Определение: Отклонением экспериментальной точки называется разность между экспериментальной ординатой y и той, которая вычислена из функциональной зависимости.
Вопрос о том, является ли кривая достаточно “хорошим” приближением к экспериментальным данным можно поставить в следующем виде: какое условие необходимо наложить на отклонение точек от кривой, чтобы эта кривая представляла экспериментальные данные с достаточной точностью?
Наиболее простым и логичным является следующее условие: сумма отклонений точек от кривой должна быть наименьшей.
Если обозначить через
значение y, вычисленное
из функциональной зависимости (1), то
это условие можно записать так:
Однако это не всегда верно, например если рассмотреть задачу о проведении прямой через 2 точки.
Видно, что (l) удовлетворяет этому критерию, но эту прямую нельзя считать приближенным к экспериментальным данным.
Это можно исправить, используя в критерии сумму абсолютных значений отклонений, т.е.
но в этом случае для нахождения min нельзя воспользоваться производной, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.
Воспользуемся в данном случае критерием наименьших квадратов, т.е. будем искать такую функциональную зависимость, при которой:
(2)
Итак, задачу можно сформулировать так:
Для функции f, заданной таблицей 1, найти функцию φ определенного вида так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Эта задача называется методом наименьших квадратов (МНК). В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f часто используют следующие функции:
1) y = ax + b
2) y = ax2 + bx + c
3) y = axm
4) y = alxm
5) y =
6) y = a*ℓnx + b
7) y = a*
8) y =
9) y = abx
10) y =
11) y =
Здесь a, b, c, m – параметры.
При использовании МНК можно находить приближения заданного типа.