П3. Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу становиться не выгодно.

В этом случае интерполяционный многочлен ищется в виде:

P_n(x)=a₀ + a₁(x – x_n) + a₂(x – x_n)( x – x_n-1) + … + a_n(x – x_n)( x – x_n-1)…( x – x₁) (5)

Как и для первой формулы Ньютона, коэффициенты a₁, a₂, … a_n находятся из условия P_n(x_i)=y_i, т.е.

-h

x = x_n, y_n = P_n(x_n) = a₀

x = x_n-1, y_n-1 = P_n(x_n-1) = a₀ + a₁(x_n-1 – x_n)

y_n-1 = y_n – a₁h => a­₁ = и т.д.

a_k = (6)

Подставляя (6) в (5) и переходя к переменной t = , получим окончательный вид второй интерполяционной формулы Ньютона:

P_n(x)= (x)=y_n + t∆y_n-1 + ∆²y_n-2 + … + ∆ⁿy₀ (7)

Частные случаи:

n = 1, P₁(x) = y₀ + t∆y₀ – формула линейного интерполирования.

n = 2, P₂(x) = y₀ + t∆y_{0 +} ∆²y₀ – формула квадратичного интерполирования.

Замечание: если таблица значений функции y=f(x) конечна, то число n ограниченно, а именно: n не может быть больше значений функции y, уменьшенного на единицу.

Пример:

Составить интерполяционные многочлены и вычислить значения функции в точках x = 0,63 и x = 1,35.

x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y
0,50	1,732	0,548	0,172	0,056	0,016
0,75	2,280	0,720	0,228	0,072
1,00	3,000	0,948	0,300
1,25	3,948	1,248
1,50	5,196

Т.к. x = 0,63 расположена в начале таблицы, а x = 1,35 в конце, то применим вначале первый интерполяционный многочлен Ньютона, а затем второй.

P₄(x) = y₀ + t∆y₀ + ∆²y₀ + ∆³y₀ + ∆⁴y₀

x₀ = 0,50, t = = = 0,52

P₄(0,63) = 1,732 + 0,52*0,548 + *0,172 = *

*0,056 + *0.016 = 1,732 + 0,28496 – 0,0214656 +

+ 0,003447 – 0,00061 ≈ 1,99833

P₄(x) = y₄ + t∆y₃ + ∆²y₂ + ∆³y₁ + ∆⁴y₀

X_n = 1,50, x = 1,35

t = = = –0,6

P₄(1,35) = 5,196 + 1,248(–0,6) + *0,3 + *0,072 +

+ *0,016 = 5,196 – 0,7488 – 0,036 – 0,004032 –

• 0,0005376 = 4,4066304

Пример:

Построить многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей. Вычислить значение функции в точке x = 2,5

x	y	∆y	∆2y	∆3y
2	7	-2	5	-9
3	5	3	-4
4	8	-1
5	7

Т.к. x= 2,5 находится ближе к началу таблицы, то построим первый интерполяционный многочлен Ньютона.

P₃(x) = y₀ (x – x₀)+ (x – x₀)(x – x₁)+ (x – x₀)( x – x₁)( x – x₂)

P₃(x) = 7 + (x – 2) + (x – 2)(x – 3) + (x – 2)(x – 3)(x – 4) =

7 – 2x + 4 + (x² – 5x + 6) – (x³ – 9x² + 24) = – x³ + 16x² – x + 62

P₃(2,5) = – *2,5³ + 16*2,5² – *2,5 + 62 = 4,8125