§3. Интерполяционные многочлены Ньютона.

Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента. В этом случае шаг таблицы h=x₀₊₁ – x_i является постоянной величиной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул упрощается.

П1. Конечные разности.

Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. h = x_i+1 – x_i,

xi	x0	x1	x2	…	xn-1	xn
f(xi)=yi	y0	y1	y2	…	yn-1	yn

Определение: Разность между значениями функций в соседних узлах интерполяции называется конечными разностями первого порядка.

∆y_i=y_i+1 – y­_i ,

Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка:

∆²y_i=∆y_i+1 – ∆y­_i ,

Продолжая этот процесс, можно по заданной таблице функции составить таблицу конечных разностей.

xi	yi	∆yi	∆2yi	∆3yi	…
x0	y0	∆y0	∆2y0	∆3y0	…
x1	y1	∆y1	∆2y1	∆3y1	…
x2	y2	∆y2	∆2y2	…
x3	y3	∆y3	…
x4	y4	…
…

Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции. Для разностей первого порядка это следует из определения. Для разностей второго порядка имеем:

∆²y_i=∆y_i+1 - ∆y_i=(y­_i+2 – y_i+1) – (y_i+1 - y_i)=y_i+2 – 2y_i+1 + y_i

∆³y_i=∆²y_i+1 - ∆²y_i=(y­_i+3 – 2y_i+2 + y_i+1)–(y_i+2 - 2y_i+1 + y_i)=y_i+3 – 3y_i+2 + 3y_i+1 - y_i

и т.д.

Пример: Составить таблицу разностей для функции заданной таблицей:

(f(x)=x³ + 3x² – x – 1)

xi	yi	∆yi	∆2yi	∆3yi	∆4yi
0	-1	3	12	6	0
1	2	15	18	6	0
2	17	33	24	6
3	50	57	30
4	107	87
5	194

Порядок правильности таблицы конечных разностей – это порядок последних конечных разностей, которые еще целесообразно использовать в вычислениях.

На практике поступают следующим образом: как только конечные разности какого-то будут практически постоянными (незначительно отличаются друг от друга), то порядок правильности таблицы полагают равным этому порядку.

П2. Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции y=f(x), заданной таблицей с постоянным шагом h=x_i=1 – x_i составлена таблица конечных разностей. Будем искать интерполяционный многочлен в виде многочлена n-ой степени:

P_n(x)=a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)(x – x₁) + … + a_n(x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n-1) (1)

Значение коэффициентов a₀, a₁, … a_n найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах интерполирования, т.е. P_n(x_i)=y_i

Из формулы (1), пологая:

x = x₀, y₀ = P_n(x₀) = a₀ => a₀ = y₀.

x = x₁, y₁ = P_n(x₁) = a₀ + a₁(x₁ – x₀) = y₀ + a₁ h => a₁ = ∆y₀/h

x = x₂, y₂ = P_n(x₂) = a₀ + a₁(x₂ – x₀) + a₂(x₂ – x₀)( x₂ – x₁) = y₀ + ∆y₀/h * 2h + a₂ * 2h²

2h²a₂ = н₂ – 2∆y₀ – y₀ = y₂ – 2(y₁ – y_­0) – y₀ = y₂ – 2y₁ + y₀

∆²y₀

a₂ = ∆²y₀/2!h₂

Далее проводя аналогичные выкладки, можно получить:

a_k = ∆^ky₀/k!h^k (2)

Подставив (2) в (1), получим:

P_n(x) = y₀+ (x – x­₀)+ (x – x₀)(x – x₁)+…+ (x – x₀) … (x – x_n-1) (3)

На практике эта формула применяется в несколько ином виде.

Положим:

=t, т.е.

x = x₀ + ht, тогда

= = t – 1

= = t – 2 и т.д.

Окончательно имеем:

P_n(x) = (x) = y₀ + t∆y₀ + ∆²y₀ + … + ∆ⁿy₀ (4)

формула (4) называется первой интерполяционной формулой Ньютона, она применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда t мало по абсолютной величине.

Первую интерполяционную формулу Ньютона по этой причине называют формулой для интерполирования вперед. За начальное значение x₀ можно принимать любое табличное значение аргумента x.