4. Параметричне р-ня прямої.

Виберем яку-небудь афінну с-му коорд. і задамо пряму d напрямним і т. .Т.  коли і колінеарні, тобто коли  число t: =t . Це співвідношення в коорд. запишеться так: чи (4*) - параметричне р-ня прямої з параметром t.

Отже  дійсного t точка з координатами (x,y,z) ,яка задовільняє умовам (4*) лежить на прямій d.Обернено ,якщо (x,y,z) – точка прямої d ,то завжди знайдеться таке t,що x,y,z виражаються через за допомогою рівності (4*).

19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.

Озн. Змішаним добутком не компланарних векторів , взятих в даному порядку наз. Об’єм паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, взятий із знаком „+”, якщо базис правий і із знаком „-”, якщо цей базис лівий. Змішаний добуток компланарних векторів рахується =0.

Змішаний добуток векторів познач. Так: або .

Виведемо формулу для обчислення змішаного добутку через коорд. векторів.

Лема. Які б не були -й базис і ортонормований правий базис , має місце рівність

=( ) .

Теорема. Якщо вектори в довільному базисі мають коорд. , , , то

= (*)

Дов. Якщо вектори компланарні, то рівність (*) правильна. Нехай деякий ортонормований правий базис, а - визначник, який записаний в правій частині рівності (*). Тоді за властивістю базисів будемо мати:

.

Поск. за властивістю базисів =1, то одержимо: (**).

За лемою чисельник правої частини рівності (**) = , а знаменник = , тому з рівності (**) рівність (*).

Якщо базис ортонормований, то , тому справедливе твердження:

Наслідок. Якщо вектори в ортонормованому базисі мають коорд. , , , то

= , де =1, якщо базис правий і =-1, якщо –лівий.

Вл-ті змішаного добутку:

Для -х векторів і і -го числа мають місце наст. рівності:

1. =

2. = , =

3. , ,

4. .

Дов. Виберемо ортонормований правий базис і задамо дані вектори в координатах , , , .

1) = .

Геометр. зміст.

Об’єм паралелепіпеда побудованого на векторах = модулю змішаного добутку цих векторів.

20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.

Озн. Векторним добутком не колінеарних векторів і наз. Такий вектор , що

1)

2) і

3) вектор напрямлений так, що ( ) права трійка.

Векторний добуток колінеарних векторів =0.

Векторний добуток векторів і познач. або .

Теорема1. Які б не були вектори , і = .

Теорема. Для того, щоб вектори і були колінеарні , щоб .

Дов. Необхід. і колінеарні . .

Дост. . - вектори спів напрямлені.

Теорема. Якщо вектори і в ортонормованому базисі мають коорд. , , то вектор має коорд.:

(**).

Дов. Нехай x, y, z- коорд. вектора . Тоді

= , тому = . За теор.1 = x= . Аналог. одерж.: y= , z= . Тоді згідно формули для обчислення зм. добутку будемо мати:

, ,

.

Тобто = = (*).

Вл-ті вект. добутку:

Для -х векторів , і і для -го справедливі рівності:

1. =

2. ,

3. . , .

Дов. Виберемо ортонормований правий базис і задамо дані вектори в координатах , , . Використовуючи формулу (*) довод. вл-ті.

Вл-ть 3. .

Задамо дані вектори в координатах (x,y,z), , .

За формулою (**) одерж., що .

Аналог. одерж. , . Отже, дана вл. справедлива.

Лема Для -х векторів і справедл. рівність = .

Геометр. зміст.

Площа паралелограма побудованого на векторах і чисельно = модулю векторного добутку .

.

*** 21.Застосування похідної до дослідження ф-ції на монотонність і знаходження екстремуму. Монотонність і похідна

Т.1. (Достатня умова строгої монотонності ф-ції на проміжку)

Нехай , диференційована на . Якщо ↗ на .

Д оведення. Візьмемо

a x₁ c x₂ b

Застосуємо до і ф-ції т. Лагранжа (умови її виконуються), будемо мати:

P.S. Аналогічна теорема з очевидними змінами буде справедлива і для монотонного спадання:

Т.2................................................. (доведення аналогічне)

Очевидно, що теореми обернені до тільки що розглянутих будуть невірними.

П-д: , яка ↗ на , але умова не виконується в т.x=0. Там .

Критерії нестрогої монотонності ф-ції на інтервалі:

Т.3. Нехай , диференційована на . Для того щоб була ⇟ на ⇔, щоб

■ Доведення: Необхідність

(Достатність доводиться так само, як і в Т.1)

Візьмемо тоді матимемо, що:

■ Аналогічною є теорема для монотонного не спадання:

Т.4.........................

Критерії строгої монотонності.

Т.5. Для того, щоб була ↗ на ⇔, щоб:

1)

2) Ніякі точки з , в яких не утворювали б відрізка.

■ Доведення: Необхідність

Нехай ↗ на , значить ⇟, а тому за Т.3

Покажемо, що 2) виконується.

Прип., що вона не виконується. Тобто ,а звідси за наслідком із т. Лагранжа ⇒ , , тому , що неможливо, бо і ↗ .Суперечність.

Достатність

Нехай виконуються умови 1), 2).

З 1) ⇒, що ⇟ на . Прип., що не буде ↗, тобто , звідси, і з того, що ⇟ маємо, що на , тобто на а це протирічить умові теореми. Суперечність. ■

Аналогічною є теорема про строге спадання ф-ції:

Т.6................................

P.S. В умовах 2-х останніх теорем вимагається диференційовність ф-ції на . Ці теореми повністю вирішують проблему монотонності диф. на проміжку ф-ції. З допомогою похідної виріш. проблема екстремальних точок.

Похідна і екстремум ф-ції

Озн: Нехай визначена в . Т. наз. точкою максимуму(мінімуму), якщо : , крім т. ⇒ ( ).

Точки max і min ф-ції наз. точками екстремуму ф-ції, а значення ф-ції в цих точках – екстремальними.

Т.1. (Необхідна умова екстремуму ф-ції)

Якщо т. є т. екстремуму ф-ції і якщо в цій т. похідна, то ( в точках екстремуму або не існує ).

П-д , але екстремуму немає.

Оск. екстремум може бути в точках, де або не існує, то по-перше, назвемо ці точки критичними. По-друге, перед нами стоїть завдання, як серед цих точок ’’виловити’’ точки екстремуму.

Т.2. (перші достатні умови існування екстремуму)

Нехай задана в ( – критична) і диференційована в лівому і правому пів околах.

Тоді, якщо при проходженні через точку зліва на право похідна змінює знак:

1. + → – то в точці має max

2. – → + то min

3. не змінює знаку – екстремуму немає

□ Доведемо 1. Це означає, що ( - розмір околу)

P.S. Всюди в подальшому ми будемо досліджувати той випадок коли точка є точкою неперервності функція . Для доведення нашої теореми в першому випадку. Треба довести, що (*). Візьмемо тоді може попасти на , або . Нехай попав на . Розгл. , ясно, що тут неперервна і на диференційована. Тому за теоремою Лагранжа матимемо:

звідси маємо: ⇒↗.

Аналогічно розглядаються і інші випадки. ■

Т.3. (другі достатні умови існування екстремуму)

Нехай двічі диференційована в критичній точці . Тоді, якщо , якщо , якщо потрібні ще дослідження

• Зауважимо, що якщо в , то в О( ), як випливає з озн. повинно .

• 

• на інтервалі .

• на інтервалі .

• Нехай . Тоді .....

• Тоді при проходженні через т. змінює знак з „-” на „+”. А за доведеною раніше теоремою означає, що в т. має мінімум. Випадок розглядається аналогічно. (випадок коли в Ільїн Садовн.-Сендов).

• Схема дослідження ф-ції на екстремум:

1. знаходимо похідну ф-ції і критичні точки цієї ф-ції;

2. наносимо на числову вісь одержані критичні точки, а також точки розриву ф-ції. Ці точки розбивають область визначення ф-ції на інтервали.

3. знаходимо знак похідної на кожному з цих інтервалів.

4. з допомогою картинки визначаємо точки екстремуму (математичні проміжки монотонності ф-ції) , – екстремуму немає.

В цьому параграфі ми навчилися, як за допомогою похідної знаходити проміжки монотонності ф-ції, а також точки екстремуму. Виявляється що похідна допомагає встановити форму графічної ф-ції на тому чи іншому проміжку. Тобто чи на якомусь проміжку графік ф-ції має форму вгнутості чи форму опуклості, ці проблеми розв’яжемо в наступному параграфі.