18.Рівняння площини і прямої в просторі.

Мн. L всіх векторів, пл-ні δ , є двовимірним векторним простором трьохвимірного векторного простору V. Підпростір L наз. напрямним підпростором пл-ни δ .Нехай –  пара ЛНЗ векторів із L, що утворюють базис. На пл-ні δ з напрямним підпростором L( ) візьмем деяку т. . Т. М δ  компланарні, звідси  їх змішаний добуток = 0: (1). Використовуючи цю рівність, запишемо р-ня пл-ни δ, заданої різними способами.

1. Р-ня пл-ни, яка задана точкою і напрямним підпростором.

В афінній с-мі коорд. задана своїми коорд. т. і два неколінеарних вектори: . Написати р-ня пл-ни δ, що проходить через т. і має напрямний підпр.L( ).

Два неколінеарні вектори задають підпростір. Р-ня пл-ни δ задається , як умова компланарності векторів ( )=0.

З сказаного вище  т. коли виконується рівність =0 (2)

Якщо т. , то не компланарні, тому не викон. рівність (1) і, отже коорд. x,y,z точки М не задовільняють рівнянню (2). Р-ня (2) є р-ням пл. δ, яка проходить через т. і має напрямний підпростір .

2.Р-ня пл-ни заданої трьома точками.

Так як дані точки не лежать на одній прямій то не колінеарні і утворюють базис напрямного підпростору розглядуваної пл-ни. Цю пл-ну можна задати як пл-ну, що проходить через дану т. із напрямним підпростором . Отже її р-ня можна записати за зразком р-ня (2) у наступному вигляді: (3) =0 –

Р-ня пл-ни, яка проходить через три фіксовані точки.

3. Р-ня пл-ни, яка задана т. і вектором.

( пл-ні δ, якщо  вектору із напрямляючого підпростору пл-ни δ.)

В прямокутній с-мі коорд. задані своїми коорд. т. і . Написати р-ня пл-ни δ ,що проходить через т. .

Т. коли , тобто коли їх скалярний добуток =0 ( ). мають коорд.: ,тому попередня рівність прийме вигляд: (4) – це і є р-ня пл-ни, що проходить через дану точку (А,В,С).

4. Параметричне р-ня пл-ни.

Задамо в просторі афінну с-му коорд. Нех. пл-на δ проходить через дану т. і має напрямний підпростір L( ) з базисом . Т. коли має місце рівність (1) ( компланарні), тобто коли  u, v: (5). Т. коли виконується рівність(5). має коорд. ,тому умова (5) запишеться у вигляді с-ми рівнянь: (6)

Ці рівності наз. параметричними р-нями пл-ни δ,

а u і v – параметрами.

Заг. р-ня пл-ни

Розкриваючи рівність(2) одержимо р-ня пл-ни у вигляді ,де

Рівняння прямої в просторі

Нех. d – пряма в просторі.  вектор , цій прямій, наз. її напрямним вектором. Розміщення прямої d в просторі визначається повністю, якщо дані: а) напрямний вектор прямої d і деяка її точка; б) дві точки прямої.

1.Канонічне рівняння прямої.,

Нех. в просторі вибрана афінна с-ма коорд. і в цій с-мі відомі коорд. деякої т. і коорд. напрямного прямої d. Напишемо р-ня цієї прямої. Розгл. випадок, коли ні одна із коорд. .Очевидно, т. М(x¸ y¸ z)  коли і колінеарні. має коорд. (x­x₀, y­y₀, z­z₀), тому за вл-стю колінеарності векторів і запишеться так: _. (1*) Це р-ня є р-ням прямої d .Якщо одна із коорд. =0, нап-д: р₃=0, р₁≠0, р₂≠0, то умова колінеарності і запишеться так: _, =0. (2*) Аналогічно, якщо рівні нулю дві коорд. вектора , нап-д: р₂= р₃=0, р₁≠0, то одержимо: (3*) В цьому випадку пряма осі Ox або співпадає з нею. Р-ня (1*), (2*), (3*) наз. канон. р-ми прямої.

2. Р-ня прямої, заданої двома точками.

Нех. в просторі вибрана афінна с-ма коорд. і в цій с-мі відомі коорд. 2-х т. і прямої d. Тоді є напрямним вектором цієї прямої. Так як має коорд. , то канонічне р-ня прямої d при згідно формули (1*) мають вигляд : Якщо одна із коорд. чи дві =0, то див.2*, 3*.

3.Р-ня прямої задане двома пл-ми.

Нех. пряма d є лінією перетину пл-н , які в афінній с-мі коорд. задані р-нями , (5*) Т. М(x¸ y¸ z)  коли її коорд. є розв’язком с-ми рівнянь (5*), тому ця с-ма є р-ням прямої d.

Лема. Якщо в афінній с-мі коорд. пряма задана р-нями (5*), то є напрямним вектором прямої.