11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.

Геометрія Л. – це неевклідова геометрія, вона грунтується на аксіомах І-ІV груп аксіом Евклідової (Абсолютної) геометрії + Аксіома Лобачевського.

З аксіоми Л. Þ, що на пл-ні $ безліч прямих, що проходять через т. А а і не перетинають а. Прямі на пл-ні Л. вважають направленими, тобто пряма АВ має напрям (від А до В).

Озн. Пряма АВ наз. паралельною прямій СD, якщо ці прямі не перетинаються і які б не були точки Р АВ і Q СD, " внутрішній промінь кута QPB перетинає промінь QD.

Ознака: Пряма АВ буде паралельною прямій CD, якщо $-ють т. Р АВ, Q CD : " промінь РМ QPB перетин. промінь QD.

Доведемо цей факт для різного розміщення точок Р, Q, М.

Дано: АВ, CD, AB CD=Ø

P AB, Q CD, PM – внутрішній промінь QPB,

PM QD Ø

Довести:

Дов.

І.

Р= , h – внутрішній промінь QPB, . h – внутрішній промінь .

ІІ.

P´=P, Q´:Q–Q´–D. h – внутрішній промінь Q´PB h – внутр. промінь QPB (за умовою) h Q´D≠Ø.

III. , , h – внутр. промінь проведемо

Озн.Через т. поза прямою в пл-ні, визначеній ними, в одному напрямку можна провети єдину пряму, паралельну даній.

Дов. Дано: АВ, М АВ. Проведемо: MN AB, CD MN (M CD) CD AB=Ø (за лемою). Виберемо (M-P-D)

Дедекіндів переріз відрізка np

Розбиття на класи К₁ і К₂ : т. Х К₁, якщо МХ NB≠Ø; : т.Y К₂, якщо МY NB=Ø.

Вл-сті дедекіндового перерізу:

а) 1.N К₁, N₁ K₁. .

2. P . За акс. Лобачевського $-ть дві прямі, які проходять через М і не перетинають АD (C´D´ ) .

б) Якщо то N–N₁–P₁.

Прип. протилежне, N – P₁ – N₁. Звідси Þ: МР₁ – внутр. промінь Ø. Тоді , що суперечить умові з б).

Виконано дедекіндів переріз ($ т. М₀, яка здійснює переріз).

Доведемо, що . МВС: прип. . Звідси Þ, що . Виберемо S: N–H–S, звідки Þ , але ж М₀–М₀^´–Р Þ, що т. М₀ не здійснює дедекіндів переріз Þ припущення невірне, тобто .

Отже, ММ₀ АВ.

Озн. Через т. поза прямою проходить дві прямі паралельні даній в різних напрямках.

Т. Відстань від " т. однієї з паралельних прямих до іншої зменшується в напрямку паралельності.

Дов.

3

2

1

Нех. – кут паралельності; – кут паралельності, але ж кут паралельності гострий, тому кут 3 – тупий. Значить , звідси (за вла-стю 4-кутника) Þ PQ>MN.

Озн. Дві прямі на пл-ні Лобачевського, які не паралельні і не перетин. наз. розбіжними або зверхпаралельними.

Тобто на пл-ні Лобачевського прямі можуть:

1. перетинатися;

2. бути паралельними;

3. бути розбіжними.

Ознака розбіжності прямих: Дві прямі, які мають спільний будуть розбіжні.

Дов. MN – спільний прямих АВ і CD.

а) (за лемою) АВ, CD не перетинаються

б) не може бути кутом паралельності Þ АВ не паралельна до CD. Звідси Þ прямі не мають спільного .

Отже АВ і CD – розбіжні.

Т.1.

Якщо дві прямі мають спільний , то він єдиний.

Дов. MN – спільний АВ і CD. Прип. =4d – суперечність.

Т.2. Якщо MN – спільний розбіжних прямих АВ і CD (M ), то відстань від т. однієї з цих прямих (АВ) до іншої збіл. якщо ця т. віддаляється від основи (т. М) в обидві сторони.

Дов.

MN, NMPQ – двопрямокутник з основою NQ.Þ Þ – гострий, .

Отже .