7. Властивості множення матриць.

Озн. Добутком матриць і наз. така матриця , , де , , .

П-д: Нех. , .

– невизначений. – операція множення матриць не комутативна.

Лема. , де , , має місце рівність

Дов.: розгл. матрицю . Тоді в лівій і в правій частинах (1) стоїть сума всіх ел-тів матриці А. Тільки в лівій частині спочатку шукається сума ел-тів кожного рядка, а потім ці суми додаються, а в правій частині шукаються суми ел-тів кожного стовпчика, а потім додаються.

На осн. леми суми вигляду (1) пишуться без дужок: . Якщо , то

Т.1.

Дов.

Аналогічно .

Т.2. " матриць , і С = виконується рівність: A(BC) = (AB)C.

Дов. Нех. , ; , . Покажемо, що , де . .

Т.3. " матриць , і виконується рівність: а) C (A + B) = CА + CВ

б) (A + B)C = AC + BC.

Дов. а) позначимо

8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)

Т. Сумісна СЛР буде визначеною Û коли ранг осн. матриці

с-ми = кількості невідомих.

Дов. Необх. Нех. с-ма сумісна і визначена, тоді можна єдиним способом записати у вигляді лінійної комбінації (ЛК) . , де –єдиний розв’язок (1). Доведемо, що – лінійно незалежні (ЛНЗ). Прип., що вони ЛЗ, тоді викон. ; – інший запис через , бо . З одержаної суперечності , що – ЛНЗ, тому = к-сті невідомих , де – осн. матриця;

– с-ма векторів стовпців матриці

Дост. Нех. С-ма (1) сумісна = к-сті невідомих . З цього вектори ЛНЗ. Оск. с-ма сумісна, то є ЛК . Покажемо, що виражається через ці вектори єдиним способом. Прип., що є два способи: , ; . . Тому – ЛЗ, що є суперечністю. Отже єдиним способом можна визначити через , а це озн., що с-ма (1) має єдиний розв’язок, тобто є визначеною.

9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .

Теорема (Кронекера– Капеллі, критерій сумісності).

СЛР буде сумісною Û, коли ранг осн. матриці с-ми = рангу розширеної матриці..

Дов. Розгл. систему:

(1)

– основна матриця

– розширена матриця.

Запишемо с-му (1) у векторній формі:

.

Тоді с-ма – с-ма векторів-стовпців м. А, а с-ма : – с-ма векторів рядків м. .

Необх. Нех. с-ма (1) сумісна. Покажемо, що . Оск. с-ма сумісна, то $-ють такі значення , при яких рівність (1¢) є правильна. Тому є ЛК . Нех. , тоді в с-мі S є r – ЛНЗ векторів. Будемо вважати, що перші r векторів – ЛНЗ, а решта є ЛК 1-их r. Тоді с-ма S с-мі , а с-ма . Оск. є ЛК , а є ЛК , то є ЛК . В такому випадку

Дост. Нех. . Тоді, . С-ма – ЛНЗ, а с-ма – ЛЗ. Бо к-сть векторів цієї с-ми більша за ранг. є ЛК , а тому і . Тому набір змінних при яких правильна. Цей набір і є розв’язком с-ми (1). Отже, с-ма (1) – сумісна , тобто має розв’язки.

1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.

Нехай L – векторний простір над полем Р.

Озн. С-ма векторів називається ЛНЗ, якщо рівність правильна, лише при .

Якщо, ж ця рівність правильна при деякому , то с-ма S наз. ЛЗ.

Т.1. С-ма векторів буде ЛЗ коли в цій с-мі вектор, який є ЛК інших векторів с-ми.

Дов. Необх. Нех. S–ЛЗ с-ма. Тоді , правильна рівність при ≠0.

Тоді,

є ЛК інших векторів.

Дост. Нех. в с-мі S є ЛК інших векторів.

Нех. . Тоді перепишемо в лівій частині:

правильна рівність, коеф. при ≠0, то за озн. S – ЛЗ.

Насл. С-ма векторів, яка містить , є ЛЗ.

– ЛЗ.

Т.2. Якщо с-ма векторів є ЛНЗ, то " її підс-ма є ЛНЗ.

Дов. Розгл. підс-му , де m<k.Прип., що – ЛЗ. Тоді правильна при деякому ≠0. Тоді і правильна, в ній ≠0, тому с-ма S має бути ЛЗ, що суперечить умові. Отже, припущення невірне, а тому S – ЛНЗ.

Т.3. Якщо в с-мі деяка підс-ма є ЛЗ, то і вся с-ма S є ЛЗ.

Дов. Прип., що S ЛЗ. Тоді за т.2. всяка її підс-ма є ЛНЗ, що суперечить умові. Отже, S – ЛЗ.

Т.4. Якщо с-ма є ЛНЗ, а с-ма L є ЛЗ, то є ЛК .

Дов. – ЛЗ правильна при ≠0. Прип., що . Тоді правильна і в ній ≠0.

Одержали, що с-ма S – ЛЗ. Це суперечить умові, а тому ≠0.

Тоді