4. Основна теорема арифметики.

Т. " N число >1 або є простим, або може бути представлене, і, при тому єдиним способом у вигляді добутку простих чисел.

(Два представлення, які відрізняються лише порядком розмі-щення множників, вважаються однаковими).

Дов. І. Існування розкладу.

Нех. n = 2. Оск. 2 – просте число, то для n = 2 твердження т. є справедливим. Прип., що твердження справедливе " N чисел, які 2, але < деякого п , і дов. справедливість твердження для п.

Розгл. . Якщо п – просте, то твердження має місце. Якщо п – складене, то його можна записати у вигляді п = п₁п₂ , де

1 <n₁ < n і 1< n₂ < n. Для чисел п₁ і п₂ згідно з індуктивним припущенням буде справедливим і . Тоді , тобто $-ня розкладу " п доведено.

ІІ.Єдиність розкладу.

Нехай п=2, це просте число, отже його розклад єдиний.

Прип., що розклад на прості множники єдиний для всіх N чисел, >2, але < п, і доведемо єдиність розкладу для п.

Якщо п – просте число, то його розклад є єдино можливим. Нехай п – складене, прип., що його можна розкласти на прості множники 2-а різними способами:

і .

Тоді = .

Ліва частина цієї рівності ділиться на р₁, тоді на р₁ повинен ділитися один із множників добутку . Нех. .оск. q₁ – просте число і р₁>1, то . Поділимо обидві частини рівності на , і отримаємо =

Оск. і – числа ,< п, то згідно індуктивного припущення з останньої рівності випливає, що l = s, p₂ = q₂, …, p_l = q_s .

Отже, теорему доведено.

Згідно з осн. т. арифметики "складене число n>1 можна представити у вигляді добутку простих чисел. Серед цих простих мн-ків можуть зустрічатись однакові. Нех., нап-д, р₁ зустрічається раз, раз, …, раз, тоді розклад числа п на прості числа мн-ки можна запис. . (*)

Мн-ки переважно розміщуються в порядку зростання. Перетворення N числа п до виду (*) наз. факторизацією числа, а сама форма (*) – канонічною

5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників

Лема. Сума добутків ел-тів деякого рядка(стовпця) квадратної матриці на алгебраїчне доповнення відповідних ел-тів іншого рядка(стовпця) = нулю.

Дов. Нех.

Покажемо, що , ( )

Розгл. матрицю В, яка відрізняється від А лише і-им рядком, тим що в i–му рядку записані ел-ти j–го рядка.

оск. В має 2 однакові рядки, то

Розгл. визначник матриці В за j–им рядком.

, ( )

Отже,

Т. Якщо – не вироджена матриця, то

(*)

Дов. Покажемо, що . А – невироджена Þ А–оборотна Þ $ : Þ . Покажемо, що матриця (*) задов. рівність:

Аналогічно можна показати, що Е.

Отже, є оберненою до А.

6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.

Розгл. квадратну с-му n–рівнянь з n невідомими записаному в матричній формі , де – невироджена матриця.

, тоді, для А

– формула для знаходження розв’язків.

Останню рівність запишемо розгорнуто

де ,

, можна записати в розширеному вигляді

Якщо останній розкрити по і-му стовпчику, то вийде: Отже, – це визначник матриці утвореної з матриці А заміною і-го стовпчика стовпцем вільних членів – називають формулою Крамера.