30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).

Озн. наз. обмеженою, якщо

Відома т., яка говорить, що кожна зб. посл. є обм.. Обернений результат невірний. Пр-д: .

Т. (Больцано – Веєрштрасса)

З кожної обм. посл. R чисел можна виділити зб. підпосл.

Дов. Нех. – обмежена  .

т. відрізок розділимо на два рівних відрізки і позначимо через той із них, який містить безліч членів нашої посл.(якщо цю власт. мають обидва відрізки, то беремо з них). Продовжуючи цей процес і т. д. ми одержимо посл. відрізків з такими власт.:

1. 

2. довжина .

3. містить безліч членів .

Із 1), 2) за аксіомою Кантора . Скільки членів посл. лежатиме в .Візьмемо: , : і тоді з власт. 3) маємо : в

є безліч членів посл.

Візьмемо .Розгл. .Тут є безліч членів . Візьмемо один з них і позначимо його .

Візьмемо і розгл. . Там буде безліч членів . Тоді член – : ( такий , бо в є безліч членів ) , при чому .

Візьмемо і розгл. і т.д.

Продовжуючи цей процес і т.д. ми на к–тому кроці візьмемо . Розгл. , в ньому знайдемо : . Це озн. (1) і т.д.

Одержали підпосл. посл. : .

З останньої нерівності за т. „про два міліціонери” одержимо, що . Із виділили збіжну підпосл., і довели теорему.

Пр-ди (1,2,3,... ) показує, т. перестає бути вірною, якщо зняти умову обмеженості.

Число с, яке ми одержали в доведенні Т.Б–В будучи границею не зобов‘язане бути границею проте ми його в майбутньому наз. частковою границею .

Озн.: Число с наз. частковою границею , якщо воно є границею деякої підпосл. цієї посл.

П-д: очевидно має дві часткові границі: 0 і 1. Співвідношення між частковими границями і границею посл.:

Т. Для того, щоб обм. посл. була зб. необх. і дост., щоб вона мала тільки одну часткову границю.

Сформулюємо аналог т.Б-В в такому виді:

посл. R чисел має принаймні одну часткову границю (можливо будь-якого знаку).