26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.

Зрозуміло, що озн. sin i cos, яке ми мали для R змінної х, яке дається в елементарній матем. не може бути перенесене на аргумент, бо невідомо що розуміти під кутом (1+і) радіан. Щоб ввести ці ф-ції в обл. потрібно використати якісь ідеї. Цих ідей є декілька. Розгл. одну з них.

В R аналізі ми мали, що ф-ції sinx, cosx, e^x розкладалися в наступні ряди Маклорена на всій R осі:

Зробимо формальну заміну х на число z:

(1)

Для з’ясування збіжності утворимо ряд з модулів: За озн. Даламбера:

.

Це озн., що ряд абсолютно збіжний на всій пл., а отже його сума є деяка ф-ція задана на всій мн. . Оск. ф-ція, яка є сумою ряду (1) при , то логічно наз. цю ф-цію експонентою. Позначається: expz. Тому за озн. маємо:

Аналогічно розв’язується проблема із sinz і cosz:

Розгл. Власт. одержаних в пл. ф-цій.

Отже, :

Отже:

Отже:

А остання рівність озн., що поряд з алгебраїчною і тригоно-метричною формою числа можна говорити і про експонен-ціальну форму:

З’ясуємо (в зв’язку з останньою рівністю) чи 2kπi є періодом експоненціальної ф-ції.

А це озн., що експоненціальна ф-ція періодична з періодом 2kπi. Цей період є уявним числом і найменшим за модулем є число 2πi.

Додавши ці два ряди будемо мати:

(2)

Віднявши останні два ряди будемо мати:

(3)

(4)

Формули (2), (3), (4) наз. формулами Ейлера.

Властивості sin i cos:

Із озн. цих ф-цій видно, що:sin(–z)=–sinz, cos(–z)=cosz

Враховуючи формули Ейлера одержимо, що ці ф-ції періодичні з тим же періодом, що і для R аргумента – 2π.

Перевіримо, чи справедливі тут формули додавання:

Аналогічно одержимо і інші формули додавання.

Покладемо: z₂ = –z₁ = z, cos 0 = cos²z+sin²z

1 = cos²z+sin²z

Займемось проблемою обмеженості cos і sin: виділимо дійсні та уявні частини кожної з цих ф-цій і оцінимо модуль кожної з них.

Скористаємось:

sin (iz) = i shz, cos (iz) = chz

Виділимо дійсну і уявну частину cos і sin.

Отже, ми одержали:

А оск. при y+ крайні частини останньої нерівності +, то остання нерівність дозволяє сказати: sin z в обл. є необмеженою ф-цією.Аналогічно для cos z.

27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).

Озн.: Ф-ція F(x) наз.неперервною на мн. E , якщо вона неперервна в кожній т. цієї мн.

Т.1. Якщо y=f(x) і на кінцях цього відрізка приймає значення різних знаків, то  хоча б одна точка с (a,b): f(c)=0 .

Дов. Позначимо через E мн. тих точок [a,b], в яких значення

ф-ції > 0. E={x│x [a,b], f(x)>0}. Оск. ф-ції ( в т. неперервна справа ) то за т. про консервативність  [а, а+ ) :  f(x)>0. Значить цей [а, а+ ) E. Аналогічно з цієї т. одержимо мн. ( ]: ( ], f(x)>0, а отже ні одна т. цього півокола до мн. Е.

Значить кожна із точок ( ] включаючи і т. ( ) буде верхньою межею мн.Е .Отже  supE=с при чому с (a,b) , бо ми довели, що а<c<b. Звідси що f(c)=0. Прип. що f(c)≠0.Тоді за т. про консервативність [a,b] : .Звідси  ні одна т. цього околу Е. Оск. с є верхньою межею мн. точок і ні одне х [a,b]: x>c, теж Е. Значить кожна т. з буде верхньою межею мн. Е, в тому числі і точка . Це неможливо, бо с – найменша з верхніх меж. Протиріччя! Випадок f(c)>0 розглядається аналогічно.

Висновок: f(с)=0.

Т.2. Якщо f(x) і f(а)≠f(b), то , що лежить між f(а) і f(b)

Дов. Нех. f(а)<f(b) Розгл. , . Тоді задовольняє умови 1-ої т. Б-К , тобто .

Наслідок. Якщо функція неперервна на [a,b] то множиною її значень буде деякий відрізок або одно точкова множина.