22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.

Аналіз означення похідної з R аналізу показує, що воно може бути перенесене на ф-ції з комплексним аргументом.

Озн. Нехай w=f(z) – ф-ція задана в деякому . Якщо , то її наз. похідною ф-ції в т. .

Озн. буде коректне, якщо ця ф-ція, задана на множині і т.z₀ буде граничною для мн.E. Похідна матиме вигляд:

.

Пр-д. Нех. є ф-ція , x задана на множині R (E=R). . Поширимо цю ф-цію на всю мн. і задамо

Візьмемо т. з і з’ясуємо чи має ця ф-ція похідну в ній.

^,

Границі немає в жодній т.z₀, а це означає що ф-ція w(z) – не диф. в жодній т. мн. похідної залежить від мн. на якій задана ф-ція.

Вимагаючи від ф-ції аргументу похідної в деякій т.z₀, на всій мн. , ми ставимо на ф-цію більш жорстку вимогу ніж при аналогічній постановці для ф-ції на R прямій. Тоді ми вимагаємо відповідної границі вздовж напрямку прямування , і щоб вони були рівні. (На відміну від дійсної прямої де цей напрямок один(сама пряма)).

Т. (Критерій диференційовності)

Нех. G відкрита обмежена мн. чисел. Т. z_{0 .}

Для того щоб ф-ція задана в області G була диф.в т. z₀ необхідно і достатньо, щоб:

1) ф-ції та , як ф-ції 2-х R змінних були диф. в т. (x₀y₀),

(z₀=x₀+iy₀)

2)в цій точці виконувалися рівності:

умови Коші-Рімана.

Доведення. Необх. Нехай W=f(z) – диф. в т. z₀=x₀+iy₀.

За озн. похідної маємо: , (2)

Оск. ,

Підставивши це в рівність (2) і виділивши дійсні і уявні частини одержимо:

Останні дві рівності, враховуючи як ведуть себе , а також числа не залежать від озн. що ф-ції і як ф-ції 2-х R змінних диф. в точці (x₀y₀).

Позн. , .

З останніх 4-х рівностей маємо умови Коші-Рімана (1). Необх. доведена, причому

Дост. Нех. 1) і 2) викон. Покажемо що  :

З 1) матимемо, що:

, (3),

де коли

(4).

Покладемо:

Підставивши в (3) і (4) замість відповідних частин похідних і , помноживши (4) на та додавши її до (3) одержимо:

Звідси:

Останні два доданки прямують до 0, бо (1^*)

при Отже,

23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.

Після того, як введено поняття інтеграла Рімана і вивчено його вл-сті, постає проблема, як його обчислювати. На практиці складно викор. озн. Розгл.  Рімана із змінною верхньою межею.

Нех. . Тоді за аддитивністю Тоді можна говорити про ф-цію . Ця ф-ція наз.  із змінною верхньою межею. Вивчимо власт. ф-ції F(x):

Т. 1. F(x) .

Дов. Візьмемо і надамо йому приріст ∆х, і одержимо ∆х+х. Розгл. звідси маємо, що: .

Перейшовши в одержаній рівності до границі при ∆х → 0 і отримаємо за різницевим означенням неперервності F(x) .

Т. 2. Якщо в умовах попередньої теореми f(t) т. , то ф-ція F(x) диф. в т. х₀ і F′(x₀) = f(x₀).

Дов. Розгл. величину:

(1)

Те що f(t) означає:

(2)

Візьмемо |∆х|<δ. Тоді в інтегралі (1) |t-х₀|<δ. Тоді з (2) можна так продовжити (1):

Таким чином ми довели, що .

Т. 3. (наслідок Т.2.,про  первісної).

Якщо f(х) , то вона на цьому відрізку має первісну.

Т. 4. (формула Ньютона-Лейбніца).

Нехай f(х) і F(x) – якась її первісна. Тоді справедлива рівність:

Дов. Візьмемо  T-розбиття : a=x₀<x₁<…<x_k=b.

Розгл.:

Перейшовши в цій рівності до границі при (Т)  0 і врахувавши, що одержимо, що . Частковий випадок доведеної теореми:

Т.5. Якщо , то справедливо:

, де F(x) – одна з первісних на .

Дов. З