
- •2. Основна теорема теорії мн-нів.
- •3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
- •4. Основна теорема арифметики.
- •5. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників
- •6.Розв’язування с-ми лінійних рівнянь (слр) матричним способом. Формули Крамера.
- •7. Властивості множення матриць.
- •8. Критерій визначеності с-ми лінійних рівнянь (слр)
- •9. Критерій сумісності с-ми лінійних рівнянь .
- •1 0. Власт. Лз та лнз систем векторів.
- •11. Означення та вл-сті паралельних і розбіжних прямих на площині Лобачевського.
- •Дедекіндів переріз відрізка np
- •13. Аксіома Лобачевского. Основні факти геометрії.
- •14 Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма.
- •15. Дотична пряма і нормальна площина до гладкої просторової лінії. Виведення рівнянь.
- •16. Принцип двоїстості на проективній площині і в просторі. Теорема Дезарга.
- •1. Дано:
- •2. Дано:
- •17 Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи
- •18.Рівняння площини і прямої в просторі.
- •1.Канонічне рівняння прямої.,
- •4. Параметричне р-ня прямої.
- •19.Змішаний добуток 3-х векторів. Геометр. Зміст змішаного добутку.
- •20.Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.
- •22. Похідна ф-ції комплексної змінної. Критерій існування. Умови Коші-Рімана.
- •23. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Існування первісної неперервної ф-ції. Теорема Ньютона-Лейбніца.
- •24.Основні теореми диференціального числення (Ферма, Лагранжа, Коші, Роля)
- •26. Показникова і тригонометричні ф-ції в комплексній області.
- •27.Неперервні ф-ції та її властивості (теореми Больцано-Веєштраса I-II).
- •28. Означення границі ф-ції за Гейне і Коші.
- •30. Теорема Больцано – Вейєрштрасса (про підпослдовність).
1.Теорема про єдиність та можливість представлення правильного дробу у вигляді суми елементарних.
Озн.
Рац. дріб
наз. правильним, коли степінь чисельника
менший за степінь знам.
Т. " правильинй дріб можна представити у вигляді суми елементарних дробів.
Д
ов.
т-му спочатку для вип. правильного
дробу:
,
де g(x)
i
h(x
) – взаємно прості deg
f<
deg
(gh)
О-ки мн-ни g(x)
i
h(x
) взаємно прості, то $
мн-ни
і
:
g(x)
+ h(x)
=
1. Домножимо на f(x):
g(x)(f(x)
)+h(x)(f(x)
)=f(x)
(3) , поділимо f(x)
на h(x):
hs+u=f
Тоді (3) можна записати: gu+hv=f (4), де deg u < deg h
v(x) – мн-член , який легко знайти, але в явному вигл. він нас не цікавить
deg(gu) < deg(gh), deg(f) < deg(gh)
Отже, deg
(hv)<deg
(gh),
deg
(v)<deg
(gh),
deg
(v)<deg
g,
тобто цей правильний дріб
,
де g i h взаємнопрості.
Якщо мн-н g(x) розкладається на взаємонпрості множники , то міркуючи аналогічно можна відпов. дріб розкласти на суму правильних дробів в знамен. кожного з яких стоїть степінь деякого незвідного мн-на поля Р, який буде взаємнопростий із знамениками інш. дробів.
Розгл.
.
М-н g(x)=(p1(x))k1(p2(x))k2…(ps(x))ks,
pi –незвідні в полі Р мн-ни, вони попарно прості.
Отже, дріб можна представити у вигляді:
,
де
.
Беремо
з
таких доданків :
<deg
(pk)
, буде:
=(p(x))k-1s1(x)+
,
deg
<
deg (p)k-1
=(p(x))k-2s2(x)+
………………………….. (5)
=(p(x))2sk-2(x)+
=(p(x))sk-1(x)+
З
1–го р–ня
(5) маємо: deg
<deg
(p)k
deg
<deg
(p)k-1
Отже, deg s1<deg (p)
Міркуючи аналогічно отримаємо, що deg si < deg p, i=2…k-1
Звідси: deg
<deg
p.
Врахувавши (5) отрим.:
Отже, дріб представлений у вигл. суми елементарних дробів.
Т. " правильний дріб можна єдиним чином представити у вигляді суми елементарних дробів.
Дов. Прип.,
що деякий правильний дріб по крайній
мірі двома способами представляється
у вигляді суми елем. дробів. Віднявши
від 1-го представлення 2-е і звівши подібні
доданки отримаємо алгебраїчну суму
елем. дробів, яка
0.
Прип., що знаменники цих дробів є степенями незвідних в полі Р мн-нів р1(х), р2(х), ...., рl(х).
Нехай найбільший із степенів мн-на рі(х), з яким він входить в цю суму буде кі , і= 1…l.
Домножимо обидві
чатини останньої рівності на вираз
,
,
....,
(6)
Прип. елем. дріб
знаменником якого є
має
вигляд:
(7), де степінь
строго
менший степеня р1,
тобто, якщо ми обидві частини нашої
р-ті домножимо на (6), то в 1-ій частині
стоятиме 0 , а в другій стоятиме сума
мн-нів і дробу
,
який отримається із (7). Але всі рі
попарно взаємнопрості, отже, р1(х)
з ніяким із мн-нів чисельника скоротитися
не може, тобто, отримаємо, що рац. дріб
= сумі мн-нів. Такого бути не може!
2. Основна теорема теорії мн-нів.
Т. 1. "
мн-н (deg(f)
1)
з R коефіцієнтами має хоча б 1 комплексний
корінь.
Викор. цю т. доведемо осн. т. теорії мн-нів.
Т. (основна теорема теорії мн-нів)
"
мн-н з
коеф.
def
≥1 має хоча б 1
корінь.
Дов.
Нех.
–
мн-н з
коеф., розгл. Мн-н
– коеф. якого спряжені до коеф. f(z)
спряжене до
і розгл. добуток:
,
де
,
k=0…n
Розгл.
.
Отже, мн-н
буде мн-ном з R коеф. За т.1 $
хоча б 1
корінь
мн-на
то
звідси Þ,
що
,
або
тобто
розгл. число спряжене до лівої частини:
Отже, якщо α не є
коренем f(z),
то
є коренем цього мн-на.
З даної т. $ ряд наслідків.
Н. 1: " мн-н з коеф. степеня >1 є звідним в полі чисел.
Н. 2: "
мн-н
однозначно, з точністю до порядку
слідування множників можна представити
у вигляді:
.
З н.1 Þ:
Мн-н з
коеф. є незвідним в полі
чисел
,
коли його степінь буде = 1.
З н. 2 Þ: к-сть коренів мн-на з коеф., з врахуванням їх кратності, = степеню мн-на, тобто поле чисел є алгебраїчно замкнутим.
Н.3: " мн-н f(x), з R коеф., степеня >2 є звідним у полі R.
3. Критерій розв’язуваності конгруенцій з одним невідомим першого степеня.
Заг. вигляд
конгруенції 1-го степеня з одним невідомим:
.
Дослідимо всі можливі випадки розв’язування
лінійних конгруенцій.
І. Розгл. спочатку найбільш важливий випадок, коли а і т взаємнопрості, тобто (a,m)=1.
Якщо в
підставити замість х
всі лишки з
повної с-ми, то за 1-ою т. про лишки лінійної
форми, ах
також
перебігає всі значення з повної с-ми
лишків, тому для одного і тільки одного
значення х1
число ах1
потрапляє
в той клас, до якого належить b
, для нього
отримаємо
.
Отже у випадку
(а,m)=1
лінійна
конгруенція має лише один розв’язок:
або x=x1
+
mt,
.
Пр-д.
.
Підставляючи лишки
повної с-ми за модулем 8:
;
знаходимо
.
І І.
Розгл. випадок, коли (a
,m)=d,
d
>1 і
В цьому випадку лінійна конгруенція розв’язку мати не може, оск. це суперечить тій вл-сті конгруенцій (частини конгруенції мають з модулем один і той самий НСД).
Дов.
,
Отже,
–
суперечність.
П-д. 6х ≡ 7 (mod 15)
(6, 15) = 3, але
Отже, конгруенція розв’язку немає.
I I I. Розгл. останній випадок, коли (а, m) = d, d > 1 і .
Тоді а = а1d, b = b1d , m = m1d.
За відомою вл-стю конгруенцій обидві частини конгруенції і модуль можна поділити на d, після чого отримуємо
а1х b1 (mod m1), (а1 ,т1)=1, що Û випадку І.
Отримана конгруенція
має розв’язок
.
Щоб знайти класи розв’язків за модулем т відзначимо, що всі лишки …, x1 –m1 , x1 ,x1 +m1 ,…, x1 +(d-1)m1 , x1 +dm1 ,… (*)
конгруентні з x1 за модулем m1 , належать за модулем m=m1d різним класам, представниками яких є лишки:
.
(**)
(
,
k-r
= cd
, k=cd+r
,
)
Дійсно, різниця
двох "
таких чисел не ділиться на m,
отже вони належать різним класам лишків
за модулем m.
Крім того для кожного лишку з ряду (*)
завжди знайдеться число з (**) таке, що
їх різниця буде кратна m
, отже такі числа належать одному класу
лишків за модулем m.
Тому в цьому випадку конгруенція буде
мати d
розв’язків:
.
П-д
Ділимо на НСД(15,
35, 55) =5, отримуємо
Методом підбору
знаходимо:
.
Тоді для даної
конгруенції маємо п’ять розв’язків:
.
Критерій розв’язку
лінійної конгруенції
:
І. якщо (a ,m)=1, то $! розв’язок;
І І. (a
,m)=
d
, d>1
і
– розв’язку немає;
І І І. (a ,m)= d , d>1 і – $ d розв’язків.