2.4 . Основные свойства определенного интеграла.

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть

dx = dt. (2.4.1)

Это следует из того, что интегральная сумма (2.1.1), а следовательно, ее предел (2.3.1) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

. (2.4.2)

Формула (2.4.2) является естественным распространением понятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины.

Также из определения вытекает следующее свойство.

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет лишь свой знак, то есть

dx= dx. (2.4.3)

Эту формулу можно рассматривать как естественное распространение понятия определенного интеграла на случай, когда отрезок интегрирования [a; b] при a<b пробегается в направлении от b к a. В этом случае точки разбиения x_i отрезка [a; b] занумерованы в порядке следования b к a и в интегральной сумме все разности ∆х_i=х_i– х_i-1 имеют отрицательный знак.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, то есть

dx = А dx. (2.4.4)

Доказательство:

Действительно, для любого разбиения отрезка [a; b] и любого выбора точек c_i

.

Переходя к пределу при max ∆х_i → 0, имеем

=

А dx.

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой функции в отдельности, то есть

dx = dx + dx − dx. (2.4.5)

Доказательство:

Действительно, для любого разбиения отрезка [a; b] и любого выбора точек c_i

.

Так как = dx, = dx и = dx, то

dx= + − =

dx + dx − dx.

6. Если отрезок интегрирования [a; b] разделен точкой x=c на два отрезка [a; c] и [c; b], то

dx = dx + dx. (2.4.6)

Доказательство:

При разбиении отрезка [a; b] на части включим точку c в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [a; b] на части). Если с = x_m, то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

= +

Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [a; b], [a; c] и [c; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при max ∆х_i→ 0 получаем равенство (2.4.6).

У казанное свойство справедливо для любого расположения точек c абсциссами a, b, и c. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла. Геометрически это свойство выражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции с основанием [a, b]

равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями [a, c] и [c, b].

7. Если на [a; b] f (x) ≤ q (x), то

. (2.4.7)

Доказательство:

Пусть фиксированы разбиение отрезка [a; b] и выбор точек c_i на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства f (x) ≤ q (x) вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:

Переходя к пределу в последнем равенстве при max ∆х_i→ 0 получаем равенство (2.4.7).

Следствие. Пусть на отрезке [a; b] m ≤ f(x) ≤ М. где m и М − некоторые числа. Тогда

m(b − a) ≤ dx ≤ M (b − a). (2.4.7⁰)

Доказательство:

По свойству 7 имеем

.

Остается заметить, что по свойству 4 и геометрическому смыслу определенного интеграла =m(b − a) и аналогично = M(b − a).

8. «Теорема о среднем». Определенный интеграл от функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке x=c, принадлежащей отрезку [a; b], то есть

dx = (b – a ) f(c), где a<c<b. (2.4.8)

Доказательство:

По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х из [a; b] верно, что m ≤ f(x) ≤ М где m и М − наименьшее и наибольшее значения функции на [a; b]. Тогда, согласно (2.4.7⁰), имеем

m ≤ dx ≤ М.

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число c [a; b], что dx= f(c). ч.т.д

Теорема о среднем допускает наглядное геометрическое толкование:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x)  0 и прямыми у = 0, х = а и х = b, равна площади прямоугольника с тем же основанием и с высотой f (c), равной ординате кривой в некоторой промежуточной точке с основания.

Ч исло f(c) = называется средним значением функции f(x) на отрезке [a; b].