1.13. Интегралы вида
;
;
.
Указание 1.
Интеграл вида
сводится к интегралу от рациональной
функции относительно sin
t и cos
t, если применить
подстановку х = а sin
t или х = a
cos t.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение
Пусть х=2sint, тогда dx=2cos t dt. Подставляем в подынтегральное выражение:
=
=4
=4
=2
–
=
=2t – sin2t
+ C.
Полученный ответ надо выразить через заданную переменную х.
х
= 2 sin
t, откуда
sin t
=
,
тогда t
= arcsin
,
sin
2t =2 sin
t cos t = 2 sin
t
=
2
=
.
Таким образом,
получаем
=
2arcsin
−
+ С.
Указание 2. Интеграл вида можно свести к интегралу от рациональной функции относительно sin t или cos t подстановкой х = а tg t или х = а ctg t.
Пример.
Найти интеграл
Решение
Пусть х = tg
t, тогда dx
=
.
Подставляем в интеграл, получаем
=
=
(1+tg
t
=
)
=
= sin t
+C.
Осталось выразить sin t через переменную х.
sin
t = tg
t ∙cos
t =
=
.
В результате получаем = +С.
Указание 3.
Интеграл вида
можно свести к интегралу от рациональной
функции относительно sin
t или cos
t подстановкой
х = а sec t или х = а cosec t.
1.14. Интегрирование простейших иррациональных выражений.
Для того чтобы проинтегрировать функцию, содержащую аргумент под знаком радикала, используют уже известный нам метод подстановки. При этом надо подобрать такую подстановку, которая позволяет привести подынтегральное выражение к рациональному виду относительно новой переменной. Приведем ниже в таблице подстановки на указанные виды интегралов.
Вид интеграла |
Замена переменной в интеграле |
1.
|
t k = x, тогда d x = k∙t k – 1 d t, где k – общий знаменатель всех дробных показателей у переменной х. В результате получаем интеграл от рациональной дроби. |
2.
|
ax + b = tk , тогда a∙dx = k∙t k – 1d t, где k – общий знаменатель всех дробных показателей у переменной х. |
3.
|
|
R – рациональная функция своих аргументов. |
|
,
,
где k
– общий
знаменатель всех дробных показателей
у переменной
х.
Пример.
Найти интеграл
Решение
Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6. Поэтому, применяем подстановку х=z6, dx = 6z5dz
=
=6
=6
+
+6
=
+ 6 arctg
z + C
=
+
6 аrctg
+ C.
1.15. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
Выражение
,
где m, n,
p – рациональные
числа, называется биномиальным
дифференциалом.
Математик Чебышев1
доказал, что интеграл от биномиального
дифференциала, то есть интеграл вида
,
выражается через элементарные функции
лишь в трех следующих случаях:
р есть целое число или равно нулю;
есть целое число
или равно нулю;+ р есть целое число или равно нулю.
В первом случае, когда р – целое положительное, то интегрирование выполняется непосредственно. Для этого достаточно разложить бином по формуле Ньютона. Если же р – целое отрицательное, то применяют подстановку х = zq , где q – наименьшее общее кратное чисел m и n.
Во втором случае,
применяют подстановку a+bx
,
где s – знаменатель
дроби р =
.
В третьем случае,
есть целое число, применяют подстановку
,
где s – знаменатель
дроби р.
Пример.
Найти интеграл
Решение
Имеем m
=
;
n =
;
p =
.
В данном случае р не является целым числом.
=
− целое число, имеет место второй
случай.
Следовательно,
применяем подстановку 1+х
= z
,
(*)
откуда
dx
= 2z dz
х
dx
= 6 z dz.
=
6
=
2z
+ C.
Полученный ответ выражаем через заданную переменную х.
Из равенства (*)
имеем z
.
Следовательно,
=
2(1+
)
+С.