1.11. Интегрирование дробной рациональной функции.
Согласно формуле (1.10.3), всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа элементарных дробей.
Если дробь
окажется неправильной, то разделив
многочлен Р(х) на многочлен Q(х),
получим в частном многочлен Т(х)
и в остатке многочлен Р
(х),
степень которого ниже степени многочлена
Q(х). В этом случае
= Т(х) +
.
(1.11.1)
В последнем равенстве дробь является правильной и может быть разложена по формуле (1.10.3).
Так как интеграл от многочлена Т(х) и элементарных дробей выражается в элементарных функциях, то можно заключить, что всякая рациональная дробь (дробно-рациональная функция) может быть проинтегрирована в элементарных функциях.
Пример. Найти
интеграл
.
Решение
Подынтегральная дробь является правильной рациональной дробью. Представим ее в виде суммы элементарных дробей
=
Приравняем числители дробей:
х +1=
;
х +1=
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему:
Откуда получаем, что В = −1.
В результате
получаем
=
+
.
Таким образом,
=
dx
=
=
ln х – −
ln
(х
)+arctgх+С.
1.12. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций.
Все тригонометрические функции рационально выражаются через синус и косинус. Следовательно, всякая функция, рационально зависящая от тригонометрических функций, может быть преобразована и представлена в виде функции, рационально зависящей от синуса и косинуса.
Рассмотрим интеграл
вида 
,
(1.12.1)
где m, n − числа
Указание 1. Чтобы найти интеграл вида (1.12.1) для случая, когда хотя бы одно из чисел m и n есть число нечетное и положительное, применяют подстановку cos х = z, если m – нечетное и положительное, и sin х= z, если n – нечетное и положительное.
Пример.
Найти интеграл
Решение
Применяем подстановку sin х = z, тогда cos х = dz. Имеем:
=
=
=
+С
=
+ С.
Указание 2. Чтобы найти интеграл вида (1.12.1)для случая, когда показатели m и n – четные и положительные (в частности, один из них может быть равно нулю), необходимо предварительно преобразовать функцию, используя при этом формулы тригонометрии:
;
;
sinх
cos х =
sin
2x.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение
Указание 3. Чтобы найти интеграл вида (1.12.1)для случая, когда показатели m и n четные и хотя бы один из них отрицательный, применяют подстановку tg х = z или ctg х = z.
Пример.
Найти интеграл
Решение
Применяем подстановку
tg х = z;
=
dz, получаем
=
=
=
+С
=
+С.
Рассмотрим интегралы вида
;
;
(1.12.2)
Указание 4. Чтобы найти интеграл вида (1.12.2), необходимо в подынтегральной функции заменить произведение синусов и косинусов на сумму или разность, согласно формулам тригонометрии:
=
[
]
=
[
]
=
[
]
Пример.
Найти интеграл
.
Решение
Интегралы вида
,
(1.12.3)
где
есть
рациональная функция относительно sin
х и cos х.
Указание 5.
Чтобы найти интеграл вида (1.12.3), применяют
так называемую универсальную подстановку
= t. При этом
sin
х =
;
cos х =
;
dx =
.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение
Сделаем замену в подынтегральном выражении, согласно формулам Указания 5, получим:
=
=
=
= ln (1+z)
+C=
=ln (1+ )+C.