§1. Неопределенный интеграл.

1.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Основная задача дифференциального исчисления заключается в нахождении производной f (x) или df = f (x) dx функции f (x).

В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f (x) требуется найти такую функцию F (x), что

F (x) = f (x) или dF (x) = F (x) dx = f (x) dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F (x) по известной производной (дифференциалу) этой функции.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции f(x) на интервале (а, b), если в любой точке х этого интервала функция F(x) дифференцируема и имеет производную F '(x), равную f(x).

Теорема 1.1. Если F­­₁(x) и F₂(x) − любые первообразные для данной функции f(x), то разность F_l(x) − F₂(x) есть величина постоянная, то есть две любые первообразные для одной и той же функции могут отличаться на постоянную величину.

Доказательство:

Пусть F₁(x) и F₂(x) – первообразные функции f (x). Их разность F (x) = F₂(x) – F₁(x) является дифференцируемой функцией. Следовательно,

т.е. F₂(x) – F₁(x) = С.

Определение. Операция отыскания первообразной F (x) функции f (x) называется интегрированием.

Определение. Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом .

Если F(x) есть одна из первообразных функций для данной функции f(x), то есть F '(x)=f(x), то

= F(x) +C, (1.1)

где С — любая постоянная.

В равенстве (1.1) функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx − подынтегральным выражением, x − переменной интегрирования, C − произвольной постоянной.

Подынтегральное выражение f(x)dx представляет собой дифференциал любой из первообразных правой части (1.1).

Геометрически неопределенный интеграл (1.1.1) представляет собой семейство плоских кривых y=F(x) + C, где C — параметр. График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

1.2. Свойства неопределенного интеграла.

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

= f(x)dx.

Доказательство:

Пусть ;

.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой же функции, сложенной с любой постоянной, то есть

=(x)+C.

Доказательство:

Так как dF (x) = F (x) d x, а F (x) = f (x), то

3. Постоянный множитель (отличный от нуля) можно выносить за знак неопределенного интеграла, то есть

Доказательство:

Пусть F (x) – первообразная функции f (x): F (x) = f (x). Тогда А∙F(x) – первообразная функции А∙f (x):

(АF(x)) = АF (x) = Аf (x).

Следовательно,

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций, то есть

Доказательство:

Пусть F(x)=f₁(x), Ф(х)=f₂(x). Тогда F(x)Ф(х) является первообразными функций f₁(x)  f₂(x). Следовательно,

5. инвариантность формулы интегрирования. Если , то и где u=u(x) – дифференцируемая функция.

Доказательство:

Воспользуемся свойством инвариантности формы дифференциала первого порядка.

Если dF (x) = F (x)dx, то dF (u) = F (u) du, где u = u (x).

Пусть , тогда . Так как и , получаем .

3. Таблица основных интегралов.

Интегрирование − действие, обратное дифференцированию. Поэтому можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления и использования свойств неопределенного интеграла. Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В таблице основных интегралов переменная интегрирования z может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования).

1. 10. 2. 3. 4 . 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. . 12.