2.7. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то имеет место формула
,
(2.7.1)
которая называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример. Вычислить
интеграл 
Решение
Положим u = x и dv = sinx dx, тогда du = dx и v = − cos x.
Применяя формулу (2.7.1) интегрирования по частям, будем иметь:
=[−
x
cosx]
+
=0+[sinx]
=1.
2.8. Интегрирование нечетных и четных функций в симметричных пределах
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [−a; а], симметричном относительно точки x=0. Тогда
dx=
(2.8.1)
Докажем это. Разобьем отрезок интегрирования [−a; а] на части [−a; 0] и [0; а]. Тогда по свойству 6 определенного интеграла
dx
=
dx
+
dx
(2.8.2)
В первом слагаемом сделаем подстановку x= − t. Тогда
dx=
dt
=
dt
=
dx.
(т.к. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования). Возвращаясь к равенству (2.8.2), получим
dx=
dx
+
dx=
dx.
(2.8.3)
Если функция f(x) четная, то f(−x) + f(x) = f(x) + f(x) = 2f(x);
если функция f(x) нечетная, то f(− x) + f(x) = − f(x) + f(x) = 0.
Таким образом, равенство (2.6.3) принимает вид (2.8.1).
Пример.
dx
=
dx
+
dх
+
dx
= 0 + 2[x
]
+ 0 = 2.
§ 3. Геометрические приложения определенного интеграла.
3.1. Вычисление площади криволинейной трапеции в декартовых координатах.
Если на [a; b] функция y = f (x) непрерывна и положительна, то площадь
(3.1.1)
Пусть теперь f (x) < 0 на [a, b], тогда
(3.1.2)
Если фигура ограничена кривыми y1 = f1 (x) и y2 = f2 (x) (f2 (x) > f1 (x)) и прямыми х = а, х = b, то ее площадь
.
(3.1.3)
Если фигура ограничена кривыми y1 = f1 (x) и y2 = f2 (x) и прямыми х = а, х = b, y = 0 как подсказано на рисунке, то площадь такой фигуры
.
(3.1.4)
Площадь фигуры,
ограниченной кривой, заданной
параметрическими уравнениями
вычисляется следующим образом:
(3.1.5)
3.2. Вычисление площади криволинейной трапеции в полярных координатах.
Определение. Плоская фигура, ограниченная кривой ρ=ρ( ) и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы α и β, будет называться криволинейным сектором.
Теорема. Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ( ), α β. Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле
(3.2.1)
Доказательство:
Разобьем произвольно отрезок [α; β] на п частей точками
α = 0 < 1 < …< n = β.
Выберем на каждом частичном отрезке [ i; i+1], i = 0, …, n – 1 произвольно точку ξi и построим круговые секторы с радиусами ρ (ξi).
В результате
получена веерообразная фигура, площадь
которой приближенно равна площади
криволинейного сектора 
.
Таким образом,
получена интегральная сумма. Так как
функция ρ2(
)
непрерывна на [α;
β],
то предел этой суммы существует при
и площадь криволинейного сектора
численно равна
ч.т.д.
3.3. Длина дуги кривой.
а) В прямоугольных координатах.
Пусть задана кривая АВ. Разобьем ее точками М1, М2, …, Мп на п частей. Соединив последовательно точки разбиения, получим ломаную, вписанную в дугу АВ. Эта ломаная состоит из звеньев
А
М1,
М1М2,
…, Мп-1В.
Примем обозначения
Mi, Mi+1 = ∆Li.
Тогда периметр этой ломаной:
Ln
= ∆L0
+ ∆L1
+ … + ∆Ln-1=
.
Очевидно, с уменьшением длин звеньев ∆Li ломаной, она по своей форме приблизится к дуге АВ.
Определение. Длиной ℓ дуги АВ называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число ее звеньев, неограниченно растет, а наибольшая из длин звеньев стремится к нулю:
.
Нетрудно показать,
что
.
Тогда
Пусть кривая АВ задана уравнением y = f (x), где f (x) – непрерывная функция, имеющая непрерывную первую производную во всех точках [a, b]. Тогда длина дуги АВ определяется формулой
.
(3.3.1)
б) Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.
Пусть теперь кривая задана параметрическими уравнениями
.
При этом предположим, что функции x (t) и y (t) непрерывны вместе со своими производными, и x (t) > 0. Тогда
.
Произведем в этом интеграле замену переменной, положив x = x (t). Так как при этом y = y (t), то по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически, найдем
и, замечая, что d x = x (t) d t, получим
.
Следовательно,
(3.3.2)
где а = x (t1), b = x (t2).
в) Длина дуги кривой, заданной уравнениями в полярных координатах.
ρ = ρ ( ), α β.
Предположим, что ρ и ρ непрерывны на [α, β]. Эту кривую можно задать параметрически, принимая за параметр полярный угол . Действительно, между декартовыми и полярными координатами существует зависимость
x = ρ cos , y = ρ sin .
x =ρ cos – ρ sin .
у = ρ sin + ρ cos .
Подставив в формулу для вычисления длины дуги, получим
=
Таким образом,
.
(3.3.3)