4. Математичне моделювання на мікрорівні, макрорівні та метарівні.

М атематичне моделювання найошириніше.Математичні моделі можуть складатися з математичних рівнянь різного типу. В моделях використовуюься будьякі об’єкти математики. Для моделі на мікрорівні виконують наступні дії: 1) Визначають області в межах яких змінюються параметри моделі. 2) Задаються значення параметрівмоделей на межах цих областей, тобто задаються крайові умови. 3) Проводиться алгебраїзація задачі, для чого задачі області розділяють на задані ділянки. Системадиф рівняння у часткових похідних перетворюються у систему алгебраїчних р-нь. 4) Задаютьсявластивостікожної елементарної ділянки середовища. Моделювання на макрорівні: Вся просторова область об’єкта розбивається на кінцеве число ділянок. -вектор похідних фазових змінних, V – вектор фазових змінних, t – час. У стаціонарних випадках це рівняння перетворюється у систему нелінійних рівнянь: F₁(V)=0. Якщо аналізується стан об’єкта, то рівняння перетв у систему: F(V)=0 Моделювання на метарівні: В об’єкті також виділяються окремі ділянки, але вони є більш складними. Крім того необхідно щоб: 1) Фазові змінні не мали конкретної фізичної реалізації, наприклад їх називають сигнали. 2) Необхідно припустити, що сигнали проходили в одному напрямку від входів об’єкта до його вихода. 3) Навантажувальну здатність не треба враховувати Процеси на метарівні описуються:

11 Структурний та параметричний синтез технічних об`єктів:

Тобто проектні процедури розприділяються на процедури синтезу, на які роз приділяють моделі, і аналізу.

При якому моделюються робота об’єкта з використанням розроблених моделей.

Процедури структурного синтезу роз приділяються на

синтез схем: структурних, функціонально-логічних, кінематичних.

Конструкцій: визначення форми об’єкта і взаємного розташування його складових частин.

Процесів: технологічних, обчислювально-вимірювальних.

Документацій: пояснювальних записок, відомостей.

Основними процедурами: визначення параметрів ідентифікації моделей.

Оскільки це складна процедура то виконується за спрощеною методикою.

Приклад структ.сист. схем: структурних, кінематичних схем і т.д.

Приклад синтезу конструкцій: визначення геометричних форм об’єктів та взаємного розташування елементів в них.

Приклад синтезу процесів: синтез обчислювальних технологій, вимірювальних процесів.

Синтез документації: синтез креслень, пояснювальних записок, відомостей.

Основними процедурами параметрами синтезу: ідентифікація параметрів моделей, оптимізація цих номінальних значень параметрів і їх допусків.

13 . Електричний аналіз іс в статичному режимі. Метод Ньютона:

Мета аналізу: отримання характеристик схем, при заданих вхідних сигналах і заданих параметрах схем типу напруги джерела живлення, температури, тощо.

При використанні одно варіантного аналізу розв’язується системи рівнянь, які складають модель схеми.

Як правило, ці системи формуються автоматично програмою аналізу. При цьому задається топологія схеми електр.

При використанні багатоваріантного аналізу системи рівнянь розв’язується багатократно. При цьому в залежності від мети аналізу змінюється або параметри вхідних сигналів, або параметри моделей елементів, що складають схему, або параметри режимів моделювання.

Статичний аналіз (ДС- аналіз) – аналіз по постійному струму дозволяє при багатократному розв’язанні рівнянь моделей отримати статичну характеристику схеми:

- вхідні;

- вихідні;

- передавальні.

_{Для статичного режиму}

_{Тому система диференціальних рівнянь перетворюється у систему трансцендентних рівнянь:}

_{де, - вектор струму через ємність елементи і падінь напруги на індуктивностях.}

_{У програмах аналізу статичних режимів електронних схем найбільше використовування отримав метод Ньютона і його модифікації, що враховують вид нелінійних функціональних залежностей моделей елементів електронних схем.}

_{Це зв’язано з тим, що методи розв’язання систем нелінійних рівнянь є ітераційними і повинні задовольняти наступним основним вимогам:}

_{- метод повинен сходитися від будь-яких початкових наближень, у тому числі і від нульових;}

- метод повинен мати високу швидкість збіжності, бо від неї залежать обчислювальні витрати на аналіз статичного стану електронної системи.

Метод Ньютона:

Дозволяє розв’язувати системи нелінійних рівнянь при аналізі, як статичних, так и динамічних режимів електронних схем.

До будь-якого методу розв’язання нелінійних рівнянь при анафаза електричних схем висуваються такі вимоги:

1) Тобто метод повинен працювати при будь-яких початкових умовах у тому числі і нульових. Від цього залежить можливість отримання рішення;

2) Метод повинен мати високу швидкість збіжності. Від цього залежить час отримання рішення.

Таким чином задовольняє метод Ньютона і його модифікацію, що враховує вид нелінійних залежностей в рівняннях.

Розглянемо систему нелінійних рівнянь, що записана у векторній формі:

_{Нехай вектор є початковим наближенням до вектора U, який треба знайти. Тоді рішення системи буде мати вигляд:}

- поправки до наближених значень.

При підстановці вектора U в F(U) отримаємо:

Якщо функція F неперервно диференціюємо в деякій області, що вміщує U і , то її можливо розкласти в ряд Тейлора за степенями малого вектора .

Обмежившись лінійними членами цього розкладання, можливо одержати:

_(*)

- матриця Якобі системи функцій F за змінними U:

Відповідно формулі (*), вектор поправок має вигляд:

_{- формула Ньютона;}

- обернена матриця Якобі;

На основі виведеної формули Ньютона можна записати узагальнену формулу Ньютона:

_{Розглянемо геометричну інтерпретацію метода Ньютона для одновимірного випадку, коли система містить одне рівняння.}

_{Геометрична інтерпретація похідної – це тангенс кута дотичної.}

_{Для виконання 2-ї ітерації, треба знову знайти дотичну.}

_{Якщо процес розв’язання рівняння сходиться, то вектор поправок при наближенні до кореня буде зменшуватись.}

_{То значення самої функції теж буде зменшуватись.}

_{Тому ітерація припиняється при виконанні однієї з двох умов:}

_{1) m- норма вектора}

_{2) m- норма вектора}

_{m- норма – це max за модулем компонент вектора (} , F₎