Остроградский гаусс

Теорема Гаусса (закон Гаусса) — один из основных законов электродинамики, входит в систему уравнений Максвелла. Выражает связь (а именно равенство с точностью до постоянного коэффициента) между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченном этой поверхностью. Применяется отдельно для вычисления электростатических полей.

Аналогичная теорема, также входящая в число уравнений Максвелла, существует и для магнитного поля (см. ниже).

Также теорема Гаусса верна для любых полей, для которых верен закон Кулона или его аналог (например, для ньютоновской гравитации). При этом она является, как принято считать, более фундаментальной, так как позволяет в частности вывести степень расстояния^[1] в законе Кулона «из первых принципов», а не постулировать ее (или не находить эмпирически).

Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля в вакууме

Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.

— полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность S

 — электрическая постоянная.

Применение теоремы Гаусса

Являясь (вкупе с уравнением о нулевой циркуляции электрического поля) основным полевым уравнением электростатики (вместе эти два уравнения в дифференциальной форме эквивалентны уравнению Пуассона — основному и единственному дифференциальному уравнению классической теории для электростатического потенциала.В электродинамике теорема Гаусса (закон Гаусса) также остается (полностью в том же виде) одним из главных уравнений — одним из четырех уравнений Максвелла.В некоторых ситуациях теорема Гаусса может быть использована для прямого и легкого вычисления электростатического поля непосредственно. Это ситуации, когда симметрия задачи позволяет наложить на напряженность электрического поля такие дополнительные условия, что вместе с теоремой Гаусса этого хватает для прямого элементарного вычисления (без применения двух обычных общих способов — решения уравнения в частных производных или лобового интегрирования кулоновских полей для элементарных точечных зарядов).Именно таким способом с использованием теоремы Гаусса может быть выведен и сам закон Кулона (см. выше).Конкретные примеры такого применения теоремы Гаусса разобраны здесь ниже.В них используются следующие величины и обозначения:

• Объёмная плотность заряда

где   — (бесконечно малый) элемент объема,

• Поверхностная плотность заряда

где   — (бесконечно малый) элемент поверхности.

• Линейная плотность заряда

где   — длина бесконечно малого отрезка. (Первая используется для зарядов, непрерывно распределенных по объему, вторая — для распределенных по поверхности, третья — для распределенных по одномерной линии (кривой, прямой).

Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

Исследуем связь между векторами Е и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков (у которых диэлектрические проницаемости равны ε1 и ε2) при отсутствии на границе свободных зарядов.  Рис.1 Проведем вблизи границы раздела диэлектриков 1 и 2 небольшой замкнутый прямоугольный контур ABCDA длины l, с направлением ориентации, как показано на рис. 1. По теореме о циркуляции вектора Е, применительно к данному случаю    откуда    (знаки интегралов по АВ и CD разные, поскольку пути интегрирования противоположны, а интегралы по участкам ВС и DA малы). Поэтому   (1)  Заменив проекции вектора Е проекциями вектора D, деленными на ε0ε, получим   (2)  построим прямой цилиндр ничтожно малой высоты на границе раздела двух диэлектриков (рис. 2); одно основание цилиндра находится в первом диэлектрике, другое — во втором. Основания ΔS настолько малы, что в пределах каждого из них вектор D одинаков. Согласно теореме Гаусса для электростатического поля в диэлектрике    (нормали n и n' к основаниям цилиндра противоположно направлены). Поэтому   (3)  Заменив проекции вектора D проекциями вектора Е, умноженными на ε0ε, получим   (4)  Значит, при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора Е(Еτ) и нормальная составляющая вектора D(Dn) изменяются непрерывным образом (не испытывают скачка), а нормальная составляющая вектора Е(Еn) и тангенциальная составляющая вектора D(Dτ) испытывают скачок.  Из условий (1) — (4) для составляющих векторов Е и D мы видим, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Найдем как связаны между углы α1 и α2 (на рис. 3 α1>α2). Используя (1) и (4), Еτ2 = Еτ1 и ε2En2 = ε1En1. Разложим векторы E1 и E2 на тангенциальные и нормальные составляющие у границы раздела. Из рис. 3 мы видим, что    Учитывая записанные выше условия, найдем закон преломления линий напряженности Е (а значит, и линий смещения D)    Из этой формулы можно сделать вывод, что, входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии Е и D удаляются от нормали.