1.3 Метод Монте-Карло

Для решения вероятностных задач, в которых не удается установить формальную зависимость конечного результата от исходных данных, т.е. получить аналитическое решение задачи, используется метод Монте-Карло (метод статистических испытаний).

Основная идея метода состоит в следующем: вместо аналитического решения задачи, либо проводя эксперименты, испытания, непосредственно рассматриваемые в задаче, либо эти испытания заменяют другими, имеющими с исходными одинаковую вероятностную структуру, или, иначе говоря, рассматриваемые в задаче случайные явления имитируют, моделируют другими случайными явлениями.

Одним из возможных способов имитации случайных явлений является рулетка. Игрой в рулетку знаменит город Монте-Карло. Именно этим объясняется другое часто встречающееся название метода статистических испытаний метод Монте-Карло.

Определенные по результатам достаточно большого числа испытаний характеристики случайных явлений (относительные частоты, средние арифметические) используют в качестве приближенного решения задачи (в качестве оценок вероятностей, математических ожиданий). Допустимость этого приближения основывается на законе больших чисел.

Метод статистических испытаний применяют для решения не только тех задач, в которых в явном виде имеются случайные явления, но также и для решения многих математических задач, не содержащих таких явлений. В этом случае искусственно подбирается такое случайное явление, характеристики которого связаны с результатом решения исходной задачи. Для определения числовых значений этих характеристик используется метод статистических испытаний.

Так как достаточно высокая точность решения при использовании метода статистических испытаний гарантируется, как правило, только при проведении большого числа испытаний, этот метод практически можно реализовать только на быстродействующих ЭВМ. По этой причине метод статистических испытаний называют иногда "машинным".

Задача, в которой метод статистических испытаний используется для определения математического ожидания.

Некоторое тело с равной вероятностью перемещается на единичное расстояние либо вправо, либо влево, либо вверх, либо вниз. Требуется оценить математическое ожидание MX расстояния тела от начального положения после k перемещений (расстояние от начального положения величина случайная в силу случайности перемещений; обозначим его X).

Предположим, что в начальном положении тело имеет координаты х=0 и у=0. Будем одно перемещение имитировать двукратным подбрасыванием монеты. Условимся, что появление двух "гербов" означает движение тела вправо, что, в свою очередь, приводит к увеличению ее абсциссы х на единицу. Появление двух решек означает движение влево и, следовательно, абсциссу х частицы надо уменьшить на единицу. Появление при первом подбрасывании монеты "герба", а при втором - решки означает движение тела вверх, что приводит к увеличению его ординаты у на единицу. При появлении же сначала решки, а затем "герба" тело "движется" вниз и его ордината у уменьшается на единицу. Вероятности исходов, возможных при двукратном подбрасывании монеты, так же как и вероятности движения тела по любому из четырех направлений, равны 1/4.

Имитировать k перемещений будем подбрасыванием монеты k раз. При этом после каждых двух подбрасываний либо абсциссу х пересчитаем, либо ординату у тела. Смещение тела относительно начального положения после k перемещений равно х =

Случайное испытание, состоящее в подбрасывании монеты 2k раз, повторим достаточно большое число n раз. Результатом i-го испытания (i =1, 2, ... ,n) является "смещение" тела, равное х. Вычислим среднее арифметическое этих смещений и примем его за приближенное значение математического ожидания MX, т. е.

MX= (1.10)

Напомним, что при соблюдении достаточно общих требований (испытания должны быть независимыми и проводиться в одинаковых условиях) средняя =( )/n и при достаточно большом числе испытаний является хорошим приближением математического ожидания MX.

При оценивании параметров генеральной совокупности проблема заключается в том, что мы никогда не знаем истинных значений этих параметров и поэтому не можем сказать, хорошие или плохие оценки дает наш метод. Эксперимент по методу Монте-Карло дает нам такую возможность. Эксперимент по методу Монте-Карло - искусственный, контролируемый эксперимент, проводимый для проверки и сравнения эффективности различных статистических методов.

Эксперимент по методу Монте-Карло заключается в следующем. Чтобы узнать, насколько близкие к истине ответы дает та или иная оценка, исследователь сам задает все параметры модели, с помощью датчика случайных чисел моделирует "наблюдения" и к получившейся "выборке" применяет оценку. Такой эксперимент проводится много раз с разными значениями случайных чисел, после этого полученные результаты сравниваются с заданными и делается вывод о качестве оценки.