2. Постулаты квантовой механики

Утверждение 1. Состояние частицы задаётся некоторым нормированным вектором в абстрактном пространстве,³) предполагается, что .

Утверждение 2. Каждой наблюдаемой динамической переменной A (координаты, импульс, момент импульса …) ставится в соответствие эрмитов оператор .

Вектор переменной в абстрактном пространстве изображается столбцом, оператор, отвечающий этой переменной, в этом же пространстве будет изображаться квадратной матрицей. Кстати, эпитет «наблюдаемый» не для красного словца. Наблюдаемая переменная – это переменная, которую можно измерить.¹)

Утверждение 3. При измерении динамической переменной A (вот я подставляюсь под пулю, ловлю её и мерею её импульс) могут быть получены числа лишь из ряда собственных значений соответствующего ей оператора .

Сейчас мы это дело оформим более компактно. Если , то при измерении переменнойA может быть получено одно из чисел α₁, α₂, …, α_n.

Утверждение 4. Вероятность того, что при измерении переменной A частицы в состоянии, задаваемом вектором , будет получено значениеα_n равна:

Третий постулат утверждает, что при измерении переменной A могут получаться лишь числа α₁, α₂, …, α_n, какое из них получится при конкретном измерении, теория отказывается отвечать, но она говорит, что вероятность того, что будет получено значение α_k, например α₇, будет определяться по такому рецепту. Возьмите вектор состояния частицы, умножьте скалярно на собственный вектор, отвечающий этому собственному значению, получится комплексное число, найдите квадрат модуля этого числа, и вы получите вероятность того, что будет получено значение α₇. Этот рецепт можно выразить в более доступной форме.

Векторы , собственные вектора оператора, они ортогональны, нормированы, их можно в этом абстрактном пространстве взять в качестве базисных векторов. Это означает, что произвольный вектор может быть выражен в этом базисе. Разложим вектор состоянияпо базису из собственных векторов оператора:. Тогда говорится, что(квадрат модуля проекции векторана собственный вектор оператора) даст вероятность того, что при измерении переменнойA будет получено значение (соответствующее собственное значение).

Утверждение 5. Существует эрмитов оператор (гамильтониан) такой, что имеет место уравнение

уравнение Шрёдингера.

Короче говоря, существует оператор, который заведует изменением вектора состояния со временем. Малое изменение вектора за время будет равняться: . То есть подействуем на векторв данный момент оператором, полученный вектор умножим на число , разделим на , и мы получим маленькое приращение вектора. Поскольку, можно себе представлять, что в абстрактном пространстве векторвращается, вот этот маленький поворот определяется оператором.

Ну, что тут пока неудобно? Всё это звучит, наверное, замечательно и захватывающе, только не понятно, зачем это делали. В ньютоновской механике, когда всё там написали (Второй закон ньютона, силы), поскольку много лет все слышали, это кажется очевидным, а ведь на самом деле это голая форма, никакого содержания она не имеет. Содержание появляется только тогда, когда даются рецепты, что там в правой части писать. Ньютоновская механика это, на самом деле, утверждение такого сорта, что всё многообразие мира мы можем отлить в форму дифференциальных уравнений второго порядка, подбирая соответствующие функции в правой части. Именно на этом стояла физика фактически до концаXIX века, считалось, что всё, что мы тут видим, оно вот в эту простую математическую форму отольётся, если мы только правильно подберём эти функции, и зада физики тогда была придумать эти функции в правой части, чтобы отлить в эту форму. На самом деле мир оказался хитрее, и он не отливается в теорию дифференциальных уравнений второго порядка. Здесь мы пока тоже видим математическую форму. Утверждается, что мы подберём операторы такие, что всё окружающее нас тут отольём в эту математическую форму. В ньютоновской теории задача физики была в нахождении сил, в рамках этой механики задача физики это нахождение гамильтонианов, то есть операторов, которые определяют эволюцию состояния в заданной окружающей среде, а окружающая среда характеризуется гамильтонианом. Вот такая математическая структура.