2). Определим площадь авс:

3). Определим площадь а1в1с1:

4). Найдем отношение площадей данных треугольников:

Определение подобных многоугольников. Два многоугольника называются подобными, если их углы одного из них соответственно равны углам другого, а стороны, заключающие равные углы, пропорциональны.

Иначе:

Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Теорема об отношении площадей подобных многоугольников. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Доказательство:

1). Подобные многоугольники можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников.

Для доказательства этой теоремы возьмем внутри многоугольника ABCDE произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами. Тогда многоугольник ABCDE разобьется на столько треугольников, сколько в нем сторон. Выберем один из них, например, AOB, и на сходственной стороне A₁B₁ другого многоугольника построим углы О₁А₁В₁ и О₁В₁А₁, соответственно равные углам ОАВ и ОВА. Точку пересечения О₁ соединим с прочими вершинами многоугольника А₁В₁С₁D₁E₁. Тогда и этот многоугольник разобьется на столько же треугольников. Докажем, что треугольники первого многоугольника соответственно подобны треугольникам второго многоугольника.

Из определения подобных многоугольников:

Из подобия треугольников АОВ и А₁О₁В₁:

Отсюда: и т. д.

2).

3).

Следствие. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты радиусов описанных окружностей или как квадраты радиусов вписанных окружностей.

Билет № 7.

1. Теорема Фалеса. Свойство средней линии треугольника. Доказать.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.

Д ано: AOB;

A₁B₁ II A₂B₂ II A₃B₃;

A₁A₂ = A₂A₃.

Доказать: В₁В₂ = В₂В₃.

Доказательство:

1. Дополнительное построение: Через точку В₂ проведем прямую FE II OA, такую, что

2. Полученные четырехугольники FA₁A₂B₂ и ЕA₃A₂B₂ являются параллелограммами по определению (противоположные стороны попарно параллельны). По свойству параллелограмма:

3. Рассмотрим ∆ FB₁B₂ и ∆В₂B₃Е.

4. Из ∆ FB₁B₂ = ∆В₂B₃Е  B₁B₂ = В₂B₃.

Замечание: В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же.

О бобщенная теорема Фалеса. Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные между собой отрезки и на другой прямой.

Обратная теорема Фалеса. Если на одной стороне угла от его вершины отложены равные отрезки ОА₁, A₁А₂, A₂А₃, ... и на другой его стороне также отложены соответственно равные отрезки ОВ₁, В₁B₂, B₂В₃, то прямые A₁В₁, А₂B₂, ... параллельны.

Дано: AOB; B₁B₂ =В₂B₃=…;

A₁A₂ = A₂A₃=….

Доказать: А₁В₁ II A₂В₂….

Доказательство:

1. OA₁B₁~ OA₂B₂ (по пропорциональным сторонам и углу между ними).

O-общий. OA₂ = OA₁ + A₁A₂ = 2OA₁; OB₂ = OB₁ + B₁B₂ = 2OB₁.

2. Из подобия треугольников следует: OA₁B₁ =  OA₂B₂ – соответственные  A₁B₁ II A₂B₂.