Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский Государственный Технический Университет

Курсовая работа по сопротивлению материалов

Факультет: ЛА

Группа: ГС-01

Вариант: 1

Студент Аносов С. Проверил: Пель А.Н.

Новосибирск 2012

Содержание

Задача 1. Расчет на изгиб двутавровой балки.

Задача 2. Расчет статически неопределимой плоской рамы.

Приложение 1.

Приложение 2.

Задача 1. Расчет на изгиб двутавровой балки.

Условие задачи

Двутавровая стальная балка закреплена на двух шарнирных опорах и нагружена в соответствии с заданной расчетной схемой. Допускаемые напряжения , модуль упругости .

Требуется:

1. Записать выражения и построить эпюры для изгибающих моментов и перерезывающих сил по силовым участкам.

2. Из условия полной проверки на статическую прочность подобрать по ГОСТу требуемый номер двутаврового профиля.

3. С использованием универсального уравнения упругой линии записать выражения для прогибов и углов поворота по силовым участкам.

4. Построить эпюры углов поворота (в градусах) и прогибов (в миллиметрах).

Исходные данные

Таблица 1.1.

номер варианта	№ 1
M1[кНм]	10
P1[кН]	20
P2[кН]	30
q[кН/м]	40
а[м]	0,4
[МПа]	160
Е[МПа]	2,0 105

Рисунок 1.1. Расчетная схема

Решение задачи:

Определение перерезывающих сил и изгибающих моментов

Выбираем систему координат (начало системы координат совмещено с левым концом балки) и балку разбиваем на силовые участки. Границы силовых участков обозначены цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Определяем реакции опор:

ΣM₁=-P₁a-P₂2a-3aP₁+R₂4a+M₁-q4a2a=0

ΣM₅=-R₁4a+P₁3a+P₂2a+P₁a+q4a2a+M₁=0

из полученных выражений находим:

R₂= R₂=60,75 кН

R₁= _{R1=73,25 кН}

Запишем уравнения для перерезывающей силы и момента: (1.1)

(1.2)

Расчет балки на полную статическую прочность при изгибе

1. _{Номер двутаврового сечения балки определяем из расчета на прочность по максимальным нормальным напряжениям.} В сечении с _{Mmax=37,8 кН.м}

должно выполняться условие σ_max= , откуда находим потребный момент сопротивления балки

По ГОСТ 8239-72 [1] выбираем ближайший по моменту сопротивления двутавровый профиль № 22а с W_z =254 см³ ≥ W_{z потр} .

Схематическое изображение сечения представлено на рис. 1.2.

Г еометрические и жесткостные параметры двутаврового профиля:

h=220 10^-3м

b=120∙10^-3м

d=5,4∙10^-3м

t=8,9∙10^-3м

h₂=h-2t=202,2∙10^-3м

I_z=2790∙10^-8м⁴

W_z=254∙10^-6м³

S^*_{z max}=143∙10^-6м³

е

Рис. 1.2

2. Выполняем проверку по максимальным касательным напряжениям. В сечении с максимальным значением перерезывающей силы проверяем прочность в точке C поперечного сечения балки

Q_max=73,25кН; τ_max= ≤ [τ]

[τ]=0,6[σ]=0,6∙160=96 МПа

τ_max= =0,695∙10⁸ Па=69,5МПа < 96 МПа

Прочность по максимальным касательным напряжениям обеспечена.

3. Проверяем прочность (по четвертой теории прочности) точки В поперечного сечения балки (рис. 1.2), которая соответствует максимальному значению эквивалентного напряжения:

M=31,1 кН∙м, Q=44,75 кН, σ_экв^IV= ,

y_B= 101,1∙10^-3м, м³

σ_B=

τ_B=

Выбранный двутавр № 22а может быть оставлен в конструкции балки.

Определение прогибов и углов поворота балки

Для определения прогибов и углов поворота воспользуемся универсальным уравнением упругой линии, которое для балки с постоянной жесткостью имеет вид

где v₀ и θ₀ – произвольные постоянные.

В данных формулах под знаком сумм следует учитывать силовые факторы, лежащие слева от рассматриваемого сечения, так что выражения в круглых скобках всегда больше или равны нулю. Распределенная нагрузка q_i должна заканчиваться на правом конце балки.

В нашем случае:

(1.3)

(1.4)

Произвольные постоянные v₀ и Θ₀ определяются из граничных условий. Так как в точке 1 и 5 прогиб равен нулю, то можно решить уравнения v(0)=0 и v(4a)=0.

Определение постоянных θ0 и V0 из граничных условий

Теперь имеем функции перерезывающей силы (1.1),изгибающего момента (1.2), прогиба (1.3) и угла поворота (1.4)=> можем построить соответствующие эпюры:

Задача 2. Расчёт статически неопределимой плоской рамы.

Условия задачи

Плоская рама изготовлена из стальных балок двутаврового профиля.В точках 1,2,3 и 4 имеет опорные закрепления. Рама нагружена в соответствии с заданной расчётной схемой (рис.1). Жёсткость на изгиб поперечного сечения горизонтальных стержней равна EI, вертикальных – 2EI. Допускаемое напряжение []=140 МПа, модуль упругости E=210⁵ МПа.

Требуется:

1) раскрыв статическую неопределимость по методу сил, построить эпюры внутренних силовых факторов;

2) обосновать правильность раскрытия статической неопределимости рамы статической и кинематической проверками;

3) подобрать двутавровый профиль по ГОСТ 8239-72, сохранив заданное соотношение жесткостей;

4) определить угол поворота сечения в точке 3;

5) исследовать напряженное состояние рамы при повреждении каждой из шарнирных опор.

Исходные данные

M = qa² =40 кНм

P = 3qa = 60 кН

q = 10 кН/м

a = 2м

[]=140 МПа

E=2,010⁵ МПа

Рисунок 1. Расчетная схема

Решение задачи:

Построение эпюр внутренних силовых факторов

Строим эквивалентную систему.

Степень статической неопределимости . Выбираем основную систему, отбрасывая внешние нагрузки и три лишние связи – шарнирные опоры в точках 1,2 и 3 (рис.2).

Рисунок 2. Основная система

Загружаем основную систему внешними нагрузками и лишними неизвестными Х₁, Х₂, Х₃, действующими в направлении отброшенных связей- получаем эквивалентную систему (рис.3).

Рисунок 3. Эквивалентная система

Для определения неизвестных Х₁, Х₂, Х₃ составим систему канонических уравнений, решив которую получим неизвестные.

(1.1)

Коэффициенты системы канонических уравнений вычисляем по формулам:

Для вычисления коэффициентов системы канонических уравнений строим эпюры моментов от единичных сил и от внешних нагрузок:

Характеристики участков:

№	1	2	3	4	5
	0	x
	0
	0
				qa2-2qa(a-x)-3qax

Для упрощения расчёта, воспользуемся программным продуктом MathCad (код программы находится в приложении 1), в котором вычислим необходимые коэффициенты и . Подставив найденные значения и в исходную систему канонических уравнений найдём :

Т.к. силы отрицательные, то изменим их направления на противоположные.

При построении эпюры M(x) используем формулу:

Обоснование правильности раскрытия статической неопределимости рамы статической и кинематической проверками

Для статической проверки рассмотрим равновесие узлов расчетной схемы (сечений, где стыкуются силовые участки балки). Из рисунка 4 следует, что узлы расчетной схемы находятся в равновесии.

Рисунок 4.

Для выполнения кинематической проверки умножим эпюру M(x) последовательно на эпюры от единичных сил, найдя тем самым перемешения в направлении этих сил. По смыслу метода сил, эти перемешения должны быть равны нулю.

Найденные интегралы Мора с точностью вычислений равны 0, следовательно, система (рисунок 3) является эквивалентной заданной (рисунок 1).

Подбор двутаврового профиля по ГОСТ 8239-72

Для обеспечения заданного соотношения жесткостей принимаем, что горизонтальные стержни выполнены из профиля двутаврового сечения с , а вертикальные из двух таких профилей, так что .

Тогда должно выполняться соотношение для вертикальных стержней:

Аналогично должно выполняться и для горизонтальных стержней:

Из полученных значений выбираем наибольшее , соответствующее условию прочности на горизонтальных стержнях. По ГОСТ 8239-72 выбираем двутавровую балку №33 с характеристиками:

При этом максимальные напряжения в раме будут составлять:

Определение угла поворота заданного сечения

Для определения угла поворота сечения в точке 3 приложим в этой точке единичный момент и построим эпюру для основной системы (рисунок 5).

Перемножая эпюры и M(x) получаем:

Рисунок 5

рад

Так как в результате расчета получили отрицательное значение gr, то направление угла поворота сечения в точке 3 обратное направлению единичного момента на рисунке 5.

Исследование напряженного состояния рамы, в случае повреждения опор

В процессе работы конструкции одна из опор может быть повреждена. Так как система является статически неопределимой, работоспособность конструкции будет сохранена, но при этом напряжения в раме перераспределяется и при заданном значении q могут превысить допускаемые.

Рассмотрим случай повреждения опоры 1:

При повреждении опоры 1, следует считать Х₁=0 и тогда из системы уравнений (1.1) получим:

,откуда получим:

Здесь верхний индекс у X_i указывает на номер поврежденной опоры.

Далее следует построить эпюру M(x) и рассчитать напряжения в поврежденной конструкции.

Рассчитаем максимальные напряжения, возникающие в раме, в данном случае:

В данном случае , при повреждении опоры 1 максимальные напряжения свущественно ниже допускаемых. Отсюда следует, что если конструктивные особенности позволяют, то опору 1 желательно убрать.

Рассмотрим случай повреждения опоры 2:

При повреждении опоры 2, следует считать Х₂=0 и тогда из системы уравнений (1.1), получим:

,откуда получим:

Построим эпюру M(x) для случая повреждённой опоры 2.

Рассчитаем максимальные напряжения, возникающие в раме, в данном случае:

В данном случае , при повреждении опоры 2 максимальные напряжения свущественно ниже допускаемых. Отсюда следует, что если конструктивные особенности позволяют, то опору 2 желательно убрать.