Упражнения
Найти общие решения и частные, удовлетворяющие начальным условиям:
11.44. – 7 + 12y = 0;
11.45. + 2 + y = 0;
11.46. + + 2y = 0;
11.47. + 2 + 3y = 0;
11.48. – 3 + 2y = 0, y=3, = 4 при 0;
11.49. – 2 + y = 0, y=1, = 0 при 0;
11.9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лнду).
Линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
(11.65)
где p и q -действительные числа, f(x) 0 – некоторая функция.
Интегрирование.
1 способ. Метод вариации произвольных постоянных.
Находим сначала общее решение, соответствующее (11.65) ЛОДУ (11.53):
y = C1y1 + C2y2. (11.66)
Общее решение ЛНДУ (11.65) находим в виде (11.66), полагая C1 =C1(x); C2 = C2(x), то есть:
y = C1(x) y1(x) + C2(x)y2(x) (11.67)
Неизвестные функции C1(x) и C2(x) находятся из системы:
(11.68)
Примеры
11.50. Найти общее решение ЛНДУ(11.69)
– 3 + 2y = . (11.69)
Решение. Рассмотрим ЛОДУ, соответствующее ЛНДУ(11.69)
– 3 + 2y = 0. (11.70)
Характеристическое уравнение:
λ² - 3λ + 2 = 0.
Дискриминант:
D=3²
- 4
2
=1>0. Корни характеристического уравнения
λ1=
1; λ2
= 2.
Частные решения: y1(x) = и y2(x) =
Общее решение:
y = C1 + C2 . (11.71)
Общее решение ЛНДУ (11.69) находим в виде (11.711), но полагаем C1 =C1(x); C2 = C2(x), то есть
y
= C1(x)
+
C2(x)
.
(11.72)
Неизвестные функции C1(x) и C2(x) определяем из системы:
откуда C1’=
-1, C2’
=
.
Интегрируем полученные ДУ относительно
неизвестных функциях C1(x)
и C2(x),
получаем:
C1 = - х + C3; C2 = - + C4, (11.73)
где C3 и C4 - произвольные постоянные.
Подставляем (11.73) в (11.72):
y=(-х + C3) + (- + C4) , или
y= C3 + C4 + (- x -1) - общее решение ЛНДУ (11.69).
11.51. Найти общее решение ЛНДУ:
– 2 + y = x . (11.74)
Решение. Рассмотрим ЛОДУ, соответствующее ЛНДУ (2.34):
– 2 + y = 0. (11.75)
Характеристическое уравнение:
λ² - 2λ + 1 = 0.
Дискриминант D=0. Корни: λ1= λ2=1.
Частные решения: y1 = ; y2 = x .
Общее решение ЛОДУ (2.35):
y=(C1+ xC2) . (11.76)
Общее решение ЛНДУ (11.74) находим в виде (11.76), но полагаем C1 =C1(x); C2 = C2(x), то есть:
y = (C1(x) + xC2(x)) . (11.77)
Неизвестные функции C1(x) и C2(x) находим из системы:
C1(x)=
-
+ C3;
C2(x)
=
+ C4,
(11.78)
Функции (11.78) подставим в (11.77):
y=(( + C4)x + (- + C3)) , или
y=
- (11.79)
общее решение ЛНДУ (2.34).
способ.
Структура общего решения ЛНДУ (11.65):
y = y0 + Y, (11.80)
где Y – общее решение соответствующего (11.65) ЛОДУ (11.53), y0 – частное решение (11.65), зависящее от вида функции f(x).
Частное решение y0 находим по виду правой части (11.65) методом неопределенных коэффициентов:
f(x) =
,
где
-
многочлен
степени n;
если a не является корнем характеристического уравнения, то y₀=
,
где
-
многочлен степени
n
c
неопределенными коэффициентами;если a – корень характеристического уравнения, кратности r (r =1 или r=2), то y₀=
;
f(x) =
,
если
не является корнем характеристического
уравнения, то y₀=
,
где
и
- многочлены
степени N=max
с неопределенными коэффициентами,
если - корни характеристического уравнения, то
y₀=
,
f(x) = f₁(x) + f₂(x) + …+ fk(x),
- частные решения уравнений
+p
+
qy
=
(x),тогда
- решение ЛНДУ с правой частью
.
Примеры
11.52. Найти общее решение ЛНДУ:
- 2 + y =x (11.81)
Решение Общее решение ЛНДУ (11.81) находим в виде:
y
=
+ Y,
(11.82)
где - частное решение (11.81), Y - общее решение ЛОДУ
- 2 + y = 0. (11.83)
Имеем:
Y =(C1+ xC2) . (11.84)
Частные решения находим по виду правой части f(x) = x : в показателе степени коэффициент при x (a =1) является корнем характеристического уравнения кратности r=2, многочлен = (x), n=1,тогда частное решение будем находить в виде
=
(11.85)
Неопределенные коэффициенты A и В определяются в результате подстановки (11.85) в (11.81).
Производные:
;
(11.86)
;
(11.87)
После подстановки (11.85) - (11.87) в (11.81) имеем
;
(11.88)
Сокращаем на
и приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях
х в
левой и правой частях уравнения (11.88),
получаем систему линейных уравнений
относительно А и В:
x: 2(3A + 2B) – 4B = 1;
2B
= 0;
откуда В = 0;
А =
(11.89)
Подставляем (11.89) в (11.85):
-
(11.90)
Частное решение ЛНДУ (11.81).
Общее решение ЛНДУ (11.81) с учетом формулы (22.82) и решений (11.84) и (11.90) принимает вид
(11.91)
Сравниваем (11.91) и (11.79).
Общие решения, найденные предыдущими способами, совпадают.
11.53.
Проинтегрировать уравнение при начальных
условиях y=1,
,
при х = 0
(11.92)
Решение Общее решение ЛНДУ (2.52) находим в виде
y = + Y, (11.93)
где 1) Y – общее решение ЛОДУ
+ - 2y=0; (11.94)
характеристическое уравнение
λ² +λ -2 = 0,
D
= 1+8=9>0; корни:
;
тогда
(11.95)
2)
- частное решение
ЛНДУ (11.92)- находим по виду правой части
f(x)=
(11.96)
- в
(11.96)
отсутствует, поэтому а=0;
коэффициенты при x
в (11.96) b=1;
не являются корнями характеристического
уравнения; перед косинусом и синусом
в (11.96) –численные коэффициенты
(многочлены нулевой степени), тогда
частное решение находим в виде
= A cosx + B sinx, (11.97)
где А и В – неопределенные коэффициенты;
дифференцируем (11.97):
= - А sinx
+ B
cosx,
(11.98)
= - А cosx
- B
sinx
(11.99)
Выражение (11.97) - (11.99) подставляем в (11.92), получаем
;
приравниваем коэффициенты при синусах и косинусах в левой и правой частях:
откуда А=0, В=1.
Таким образом, частное решение (11.97) имеет вид
= sinx. (11.100)
Подставляем (11.95) и (11.100) в (11.93), получаем общее решение ЛНДУ
(11.101)
Находим далее частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Дифференцируем (11.101):
(11.102)
Подставляем y=1; =2; x=0 в (2.61) и (2.62):
или
откуда
частное решение
находим, подставляя полученные значения
произвольных постоянных в (11.101):
-
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.