Упражнения
Найти общие решения.
= 1/x;
= -
;= 1- ( )²;
x + = 0;
= sin x;
-
;(1- x)² - x =2;
(2y+3) – 2( )² = 0
y – ² = 0
y – ( )² = 0
11.8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лоду)
Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
+ p
+ qy
= 0, (11.53)
где p и q- действительные числа.
Можно доказать, что если y1(x) и y2(x) – линейно независимые*) частные решения ЛОДУ (2.13), то общее решение этого уравнения является их линейной комбинацией
y = C1y1(x) + C2y2(x), (11.54)
где С1 и С2 – произвольные постоянные числа.
Частные решения
можно найти в виде y =
(метод Эйлера), где λ
– действительное число.
Подставим y =
,
y’
= λ
и
=
λ²
в ЛОДУ (11.53), сократим
,
получим
λ² + pλ + q = 0 - (11.55)
характеристическое уравнение ЛОДУ (11.53).
Частные решения зависят от вида корней уравнения (11.53)
Если D = p² - 4q>0, то (11.55) имеет два действительных различных корня λ1 λ2, им соответствуют частные решения
y1(x)
=
и y2(x)
=
(11.56)
Можно доказать, что функции(11.56) линейно независимы, тогда общее решение ЛОДУ (11.53) имеет вид
y = C1 + C2 (11.57)
Если D = 0, то λ1=λ2 = λ, с качестве частных решений принимают линейно независимые функции
y1(x)
=
и y2(x)=
x
,
(11.58)
Общее решение:
y
= C1
+
C2
,
или
y = (C1+ C2x) (11.59)
Если D<0, то корни характеристического уравнения (11.55) комплексно- сопряженные
λ1,2
=
,
где
Линейно независимые частные решения:
y1(x)
=
sin
βx;
y2(x)=
cos
βx.
(11.60)
Общее решение:
y = (C1sin βx + C2cos βx ). (11.61)
Примеры
Найти общее решение ЛОДУ
11.40 – 5 + 6y = 0
Решение Составляем характеристическое уравнение:
λ² - 5λ + 6 = 0
Его дискриминант D>0, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня λ1 = 2; λ2=3, им соответствуют линейно независимые частные решения (2.16)
y1(x)
=
и y2(x)
=
и общее решение (2.17)
y = C1 + C2
11.41 - 4 + 4y = 0.
Решение. Характеристическое уравнение λ² - 4λ + 4 = 0 имеет дискриминант D = 0 и два равных действительных корня λ1 = λ2=2; линейно независимые частные решения:
y1(x) = и y2(x)= x .
Oбщее решение:
y = (C1+ C2x).
11.42. + + y = 0
Решение. Характеристическое уравнение
λ² + λ + 1 = 0.
Дискриминант D<0. Корни:
λ1,2
=
;
линейно независимые частные решения:
y1(x)
=
sin
x;
y2(x)=
cos
x.
Общее решение:
y = (C1sin x + C2cos x )
11.43. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y=1, =1, при х = 0,
- 2 + 2y = 0.
Решение. Характеристическое уравнение:
λ² - 2λ + 2 = 0
Дискриминант D = 4-8 = - 4<0. Корни характеристического уравнения:
λ1,2
=
;
Линейно независимые частные решения:
y1(x)
=
sin
x; y2(x)=
cosx.
Общее решение:
y = (C1sin x + C2cos x) (11.62)
Производная общего решения:
= ( (C1-C2)sin x + (C1-C2) cosx ) (11.63)
Подставляем начальные условия y=1, =1, при х = 0 в (11.62) и (11.63), получаем систему линейных уравнений относительно C1 и C2:
или
откуда
С1=0, С2=1. (11.64)
Значения (11.64) произвольных постоянных подставляем в общее решение (11.62):
= ( 0sin x + 1cos x ), или
y = cosx –
частное решение исходного ЛОДУ, удовлетворяющее начальным условиям.